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【題目】如圖，橢圓，拋物線，過上一點異于原點作的切線l交于A，B兩點，切線l交x軸于點Q．

若點P的橫坐標為1，且，求p的值．

求的面積的最大值，并求證當面積取最大值時，對任意的，直線l均與一個定橢圓相切．

【答案】（1）6；（2），證明見解析.

【解析】

不妨設計算出AQ，BQ的長度代入條件計算出p值；

設則令，則l：表示出的面積，求出其最大值，驗證直線l與橢圓相切；

解：點，由對稱性不妨設．

于是，于是所以點Q是的左焦點．

設焦準距為．

類比拋物線的焦半徑算法可得．

于是，于是，所以．

設于是l：．

于是令，則l：．

聯立．

設，．

．

當且僅當取等，且滿足所以的面積的最大值為．

注意到即為這個等式類似于；

于是猜想橢圓聯立

得：；

；

故當面積取最大值時，直線l均與一個定橢圓相切．

練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數學 來源： 題型：

【題目】已知兩點分別在軸和軸上運動，且，若動點滿足.

（1）求出動點P的軌跡對應曲線C的標準方程；

（2）一條縱截距為2的直線與曲線C交于P，Q兩點，若以PQ直徑的圓恰過原點，求出直線方程.

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科目：高中數學 來源： 題型：

【題目】如圖,已知正四棱錐可繞著任意旋轉,平面.若，,則正四棱錐在面內的投影面積的取值范圍是_______.

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科目：高中數學 來源： 題型：

【題目】在平行四邊形中，，，過點作的垂線，交的延長線于點，.連結，交于點，如圖1，將沿折起，使得點到達點的位置，如圖2.

（1）證明：平面平面；

（2）若為的中點，為的中點，且平面平面，求三棱錐的體積.

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科目：高中數學 來源： 題型：

【題目】已知拋物線的焦點為，過點，斜率為1的直線與拋物線交于點，，且.

（1）求拋物線的方程；

（2）過點作直線交拋物線于不同于的兩點、，若直線，分別交直線于兩點，求取最小值時直線的方程.

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科目：高中數學 來源： 題型：

【題目】已知函數，其中為自然對數的底數．

（1）討論的單調性；

（2）當時，恒成立，求的取值范圍．

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科目：高中數學 來源： 題型：

【題目】選修4-4：坐標系與參數方程

在平面直角坐標系中，曲線過點，其參數方程為 （為參數，），以為極點，軸非負半軸為極軸建立極坐標系，曲線的極坐標方程為.

（1）求曲線的普通方程和曲線的直角坐標方程；

（2）求已知曲線和曲線交于，兩點，且，求實數的值.

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科目：高中數學 來源： 題型：

【題目】現有一長為100碼，寬為80碼，球門寬為8碼的矩形足球運動場地，如圖所示，其中是足球場地邊線所在的直線，球門處于所在直線的正中間位置，足球運動員（將其看做點）在運動場上觀察球門的角稱為視角．

（1）當運動員帶球沿著邊線奔跑時，設到底線的距離為碼，試求當為何值時最大；

（2）理論研究和實踐經驗表明：張角越大，射門命中率就越大．現假定運動員在球場都是沿著垂直于底線的方向向底線運球，運動到視角最大的位置即為最佳射門點，以的中點為原點建立如圖所示的直角坐標系，求在球場區(qū)域內射門到球門的最佳射門點的軌跡.

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科目：高中數學 來源： 題型：

【題目】在平面直角坐標系xOy中，以O為極點，x軸的正半軸為極軸建立極坐標系的極坐標方程為，直線l的參數方程為，（其中為參數）直線l與交于A，B兩個不同的點．

求傾斜角的取值范圍；

求線段AB中點P的軌跡的參數方程．

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