【題目】已知函數(shù)f(x)=(x﹣1)2(x﹣a)(a∈R)在x= 處取得極值.
(1)求實數(shù)a的值;
(2)求函數(shù)y=f(x)在閉區(qū)間[0,3]的最大值與最小值.
【答案】
(1)解:f'(x)=(x﹣1)(3x﹣2a﹣1)
由
(2)解:由(1)得f((x)=(x﹣1)2(x﹣2)),f'(x)=(x﹣1)(3x﹣5)
由f'(x)=0得x=1或 ,列出變化表如下:
x | 0 | (0,1) | 1 | (1 ) | ( ,3) | 3 | |
f'(x) | + | 0 | ﹣ | 0 | + | ||
f(x) | ﹣2 | 0 | 4 |
所以,f(x)最大值為4,f(x)最小值為﹣2
【解析】(1)根據(jù)導數(shù)和函數(shù)的極值得關(guān)系即可求出a的值;(2)先求出其導函數(shù),再讓其導函數(shù)大于0對應(yīng)區(qū)間為增區(qū)間,小于0對應(yīng)區(qū)間為減區(qū)間,即可判斷在[0,3]上單調(diào)性,即可求出最值.
【考點精析】根據(jù)題目的已知條件,利用函數(shù)的極值與導數(shù)和函數(shù)的最大(小)值與導數(shù)的相關(guān)知識可以得到問題的答案,需要掌握求函數(shù)的極值的方法是:(1)如果在附近的左側(cè),右側(cè),那么是極大值(2)如果在附近的左側(cè),右側(cè),那么是極小值;求函數(shù)在上的最大值與最小值的步驟:(1)求函數(shù)在內(nèi)的極值;(2)將函數(shù)的各極值與端點處的函數(shù)值,比較,其中最大的是一個最大值,最小的是最小值.
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【題目】如圖,四邊形為等腰梯形, ,將沿折起,使得平面平面為的中點,連接 (如圖2).
(1)求證: ;
(2)求直線與平面所成的角的正弦值.
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【題目】以平面直角坐標系的原點為極點, 軸正半軸為極軸且取相同的單位長度建立極坐標系.已知點的參數(shù)方程為(為參數(shù)),點在曲線上.
(1)求在平面直角坐標系中點的軌跡方程和曲線的普通方程;
(2)求的最大值.
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【題目】已知橢圓過點,橢圓的左焦點為,右焦點為,點是橢圓上位于軸上方的動點,且,直線與直線分別交于兩點.
(1)求橢圓的方程及線段的長度的最小值;
(2)是橢圓上一點,當線段的長度取得最小值時,求的面積的最大值.
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【題目】已知函數(shù)f(x)滿足f(x﹣1)=﹣f(﹣x+1),且當x≤0時,f(x)=x3 , 若對任意的x∈[t,t+2],不等式f(x+t)≥2 f(x)恒成立,則實數(shù)t的取值范圍是 .
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【題目】設(shè)函數(shù)f(x)=lnx﹣ax+ ﹣1. (Ⅰ)當a=1時,求曲線f(x)在x=1處的切線方程;
(Ⅱ)當a= 時,求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間;
(Ⅲ)在(Ⅱ)的條件下,設(shè)函數(shù)g(x)=x2﹣2bx﹣ ,若對于x1∈[1,2],x2∈[0,1],使f(x1)≥g(x2)成立,求實數(shù)b的取值范圍.
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【題目】已知a,b是實數(shù),函數(shù)f(x)=x|x﹣a|+b.
(1)當a=2時,求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間;
(2)當a>0時,求函數(shù)f(x)在區(qū)間[1,2]上的最大值;
(3)若存在a∈[﹣3,0],使得函數(shù)f(x)在[﹣4,5]上恒有三個零點,求b的取值范圍.
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【題目】已知函數(shù)f(x)的導函數(shù)為f′(x),滿足xf′(x)+2f(x)= ,且f(e)=
(Ⅰ)求f(x)的表達式
(Ⅱ)求函數(shù)f(x)在[1,e2]上的最大值與最小值.
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