Question

設(shè)，函數(shù).
（1）若，求曲線在點處的切線方程；
（2）若無零點，求實數(shù)的取值范圍；
（3）若有兩個相異零點、，求證：.

Answer 1

（1）切線方程為；（2）實數(shù)的取值范圍是；（3）詳見解析.

試題分析：（1）將代入函數(shù)的解析式，利用導(dǎo)函數(shù)的幾何意義，結(jié)合直線的點斜式求出切線的方程；（2）先求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，對的符號進(jìn)行分類討論，結(jié)合零點存在定理判斷函數(shù)在定義域上是否有零點，從而求出參數(shù)的取值范圍；另外一中方法是將問題等價轉(zhuǎn)化為“直線與曲線無公共點”，結(jié)合導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的基本性質(zhì)，然后利用圖象即可確定實數(shù)的取值范圍；（3）從所證的不等式出發(fā)，利用分析法最終將問題等價轉(zhuǎn)換為證明不等式在區(qū)間上恒成立，并構(gòu)造新函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性與最值來進(jìn)行證明.
試題解析：在區(qū)間上，，
（1）當(dāng)時，，則切線方程為，即；
（2）①當(dāng)時，有唯一零點；
②當(dāng)時，則，是區(qū)間上的增函數(shù)，
，，
，即函數(shù)在區(qū)間有唯一零點；
③當(dāng)時，令得，
在區(qū)間上，，函數(shù)是增函數(shù)，
在區(qū)間上，，函數(shù)是減函數(shù)，
故在區(qū)間上，的極大值為，
由，即，解得，故所求實數(shù)的取值范圍是；
另解：無零點方程在上無實根直線與曲線無公共點，
令，則，令，解得，列表如下：

	增	極大值	減

故函數(shù)在處取得極大值，亦即最大值，即，
由于直線與曲線無公共點，故，故所求實數(shù)的取值范圍是；
（3）設(shè)，由，，可得，，
，，
原不等式，
令，于是，
設(shè)函數(shù)，求導(dǎo)得，
故函數(shù)是上的增函數(shù)，，即不等式成立，
故所證不等式成立.