Question

已知函數(shù)f（x）=a-

2

2x+1

．
（Ⅰ）若函數(shù)f（x）為奇函數(shù)，求a的值；
（Ⅱ）若a=2，則是否存在實數(shù)m，n（m＜n＜0），使得函數(shù)f（x）的定義域和值域都為[m，n]？若存在，求出m，n的值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

考點：函數(shù)奇偶性的性質(zhì)

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（Ⅰ）函數(shù)f（x）為奇函數(shù)，且定義域為R，由f（0）=0求a的值；
（Ⅱ）把a=2代入函數(shù)解析式，假設(shè)存在實數(shù)m、n（m＜n＜0）滿足題意，則有

f(m)=m f(n)=n

，即m、n是方程
f（x）=x的兩個不等負根，然后分析方程2-

2

2x+1

=x無負根說明假設(shè)錯誤．

解答： 解：（Ⅰ）∵f（x）為R上的奇函數(shù)，
∴f（0）=0，即a-1=0，a=1；
（Ⅱ）不存在實數(shù)m、n滿足題意．
當a=2時，f（x）=2-

2

2x+1

，
∵y=2^x在R上是增函數(shù)，∴f（x）在R上是增函數(shù)．
假設(shè)存在實數(shù)m、n（m＜n＜0）滿足題意，則有

f(m)=m f(n)=n

，
即m、n是方程f（x）=x的兩個不等負根．
由2-

2

2x+1

=x，得2^x+1=-

2

x-2

．
令h（x）=2^x+1，g（x）=-

2

x-2

．
∵函數(shù)g（x）在（-∞，0]上單調(diào)遞增，
∴當x＜0時，g（x）＜g（0）=1．
而h（x）＞1，∴h（x）＞g（x），
∴方程2^x+1=-

2

x-2

在（-∞，0）上無解．
故不存在實數(shù)m、n滿足題意．

點評：本題考查了函數(shù)奇偶性的判斷，考查了由函數(shù)的單調(diào)性求函數(shù)的值域，訓練了存在性問題的證明方法，是中檔題．