Question

設(shè)a為實(shí)數(shù)，給出命題p：關(guān)于x的不等式(

1

2

)|x-1|≥a的解集為∅，命題q：函數(shù)f（x）=lg[ax²+（a-2）x+

9

8

]的定義域?yàn)镽，若命題“p∨q”為真，“p∧q”為假，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：復(fù)合命題的真假

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用,簡(jiǎn)易邏輯

分析：先根據(jù)指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，對(duì)數(shù)函數(shù)的定義域，以及一元二次不等式解的情況和判別式△的關(guān)系求出命題p，q下的a的取值范圍，再根據(jù)p∨q為真，p∧q為假得到p，q一真一假，所以分別求出p真q假，p假q真時(shí)的a的取值范圍并求并集即可．

解答： 解：命題p：|x-1|≥0，∴(

1

2

)|x-1|≤1，∴a＞1；
命題q：不等式ax2+(a-2)x+

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8

＞0的解集為R，∴

a＞0 (a-2)2- 9 2 a＜0

，解得

1

2

＜a＜8；
若命題“p∨q”為真，“p∧q”為假，則p，q一真一假；
p真q假時(shí)，

a＞1 a≤ 1 2 ，或a≥8

，解得a≥8；
p假q真時(shí)，

a≤1 1 2 ＜a＜8

，解得

1

2

＜a≤1；
∴實(shí)數(shù)a的取值范圍為：(

1

2

，1]∪[8，+∞)．

點(diǎn)評(píng)：考查指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，空集的概念，對(duì)數(shù)函數(shù)的定義域，一元二次不等式的解的情況和判別式△的關(guān)系，以及p∨q，p∧q的真假和p，q真假的關(guān)系．