Question

【題目】橢圓:的左、右焦點(diǎn)分別為、，若橢圓過(guò)點(diǎn).

（1）求橢圓的方程；

（2）若為橢圓的左、右頂點(diǎn)， （）為橢圓上一動(dòng)點(diǎn)，設(shè)直線分別交直線： 于點(diǎn)，判斷線段為直徑的圓是否經(jīng)過(guò)定點(diǎn)，若是，求出該定點(diǎn)坐標(biāo)；若不恒過(guò)定點(diǎn)，說(shuō)明理由.

【答案】(1) ；(2)答案見(jiàn)解析.

【解析】試題分析：（1）將點(diǎn)坐標(biāo)代人橢圓方程 并與離心率聯(lián)立方程組，解得， （2）根據(jù)點(diǎn)斜式得直線方程，與直線聯(lián)立解得點(diǎn)坐標(biāo)，根據(jù)向量關(guān)系得為直徑的圓方程，最后代人橢圓方程進(jìn)行化簡(jiǎn)，并根據(jù)恒等式成立條件求定點(diǎn)坐標(biāo).

試題解析：(1)由已知，

∴①

∵橢圓過(guò)點(diǎn)，

∴②

聯(lián)立①②得，

∴橢圓方程為

（2）設(shè)，已知

∵，∴

∴都有斜率

∴

∴③

∵

∴④

將④代入③得

設(shè)方程

∴方程

∴

由對(duì)稱(chēng)性可知，若存在定點(diǎn)，則該定點(diǎn)必在軸上，設(shè)該定點(diǎn)為

則

∴

∴，∴

∴存在定點(diǎn)或以線段為直徑的圓恒過(guò)該定點(diǎn).

點(diǎn)睛：定點(diǎn)的探索與證明問(wèn)題

(1)探索直線過(guò)定點(diǎn)時(shí)，可設(shè)出直線方程為，然后利用條件建立等量關(guān)系進(jìn)行消元，借助于直線系的思想找出定點(diǎn)．

(2)從特殊情況入手，先探求定點(diǎn)，再證明與變量無(wú)關(guān)．

【題型】解答題
【結(jié)束】
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【題目】已知函數(shù)，曲線在處的切線經(jīng)過(guò)點(diǎn).

（1）證明： ；

（2）若當(dāng)時(shí)， ，求的取值范圍.

Answer 1

【答案】(1)證明見(jiàn)解析；(2) .

【解析】試題分析：（1）先根據(jù)導(dǎo)數(shù)幾何意義得切線斜率為，再根據(jù)切線過(guò)點(diǎn)，解得導(dǎo)數(shù)可得導(dǎo)函數(shù)零點(diǎn)，列表分析導(dǎo)函數(shù)符號(hào)變號(hào)規(guī)律可得函數(shù)單調(diào)性，根據(jù)函數(shù)單調(diào)性可得函數(shù)最小值為0，即得結(jié)論，（2）先化簡(jiǎn)不等式為，分離得，再利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)單調(diào)性，利用羅伯特法則求最大值，即得的取值范圍.

試題解析：（1）曲線在處的切線為，即

由題意得，解得

所以

從而

因?yàn)楫?dāng)時(shí)， ，當(dāng)時(shí)， .

所以在區(qū)間上是減函數(shù)，區(qū)間上是增函數(shù)，

從而.

（2）由題意知，當(dāng)時(shí)， ，所以

從而當(dāng)時(shí)， ，

由題意知，即，其中

設(shè)，其中

設(shè)，即，其中

則，其中

（1）當(dāng)時(shí)，因?yàn)?/span>時(shí)， ，所以是增函數(shù)

從而當(dāng)時(shí)， ，

所以是增函數(shù)，從而.

故當(dāng)時(shí)符合題意.

（2）當(dāng)時(shí)，因?yàn)?/span>時(shí)， ，

所以在區(qū)間上是減函數(shù)

從而當(dāng)時(shí)，

所以在上是減函數(shù)，從而

故當(dāng)時(shí)不符合題意.

（3）當(dāng)時(shí)，因?yàn)?/span>時(shí)， ，所以是減函數(shù)

從而當(dāng)時(shí)，

所以是減函數(shù)，從而

故當(dāng)時(shí)不符合題意

綜上的取值范圍是.