Question

【題目】橢圓:的左、右焦點分別為、，若橢圓過點.

（1）求橢圓的方程；

（2）若為橢圓的左、右頂點， （）為橢圓上一動點，設(shè)直線分別交直線： 于點，判斷線段為直徑的圓是否經(jīng)過定點，若是，求出該定點坐標(biāo)；若不恒過定點，說明理由.

【答案】(1) ；(2)答案見解析.

【解析】試題分析：（1）將點坐標(biāo)代人橢圓方程 并與離心率聯(lián)立方程組，解得， （2）根據(jù)點斜式得直線方程，與直線聯(lián)立解得點坐標(biāo)，根據(jù)向量關(guān)系得為直徑的圓方程，最后代人橢圓方程進行化簡，并根據(jù)恒等式成立條件求定點坐標(biāo).

試題解析：(1)由已知，

∴①

∵橢圓過點，

∴②

聯(lián)立①②得，

∴橢圓方程為

（2）設(shè)，已知

∵，∴

∴都有斜率

∴

∴③

∵

∴④

將④代入③得

設(shè)方程

∴方程

∴

由對稱性可知，若存在定點，則該定點必在軸上，設(shè)該定點為

則

∴

∴，∴

∴存在定點或以線段為直徑的圓恒過該定點.

點睛：定點的探索與證明問題

(1)探索直線過定點時，可設(shè)出直線方程為，然后利用條件建立等量關(guān)系進行消元，借助于直線系的思想找出定點．

(2)從特殊情況入手，先探求定點，再證明與變量無關(guān)．

【題型】解答題
【結(jié)束】
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【題目】已知函數(shù)，曲線在處的切線經(jīng)過點.

（1）證明： ；

（2）若當(dāng)時， ，求的取值范圍.

Answer 1

【答案】(1)證明見解析；(2) .

【解析】試題分析：（1）先根據(jù)導(dǎo)數(shù)幾何意義得切線斜率為，再根據(jù)切線過點，解得導(dǎo)數(shù)可得導(dǎo)函數(shù)零點，列表分析導(dǎo)函數(shù)符號變號規(guī)律可得函數(shù)單調(diào)性，根據(jù)函數(shù)單調(diào)性可得函數(shù)最小值為0，即得結(jié)論，（2）先化簡不等式為，分離得，再利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)單調(diào)性，利用羅伯特法則求最大值，即得的取值范圍.

試題解析：（1）曲線在處的切線為，即

由題意得，解得

所以

從而

因為當(dāng)時， ，當(dāng)時， .

所以在區(qū)間上是減函數(shù)，區(qū)間上是增函數(shù)，

從而.

（2）由題意知，當(dāng)時， ，所以

從而當(dāng)時， ，

由題意知，即，其中

設(shè)，其中

設(shè)，即，其中

則，其中

（1）當(dāng)時，因為時， ，所以是增函數(shù)

從而當(dāng)時， ，

所以是增函數(shù)，從而.

故當(dāng)時符合題意.

（2）當(dāng)時，因為時， ，

所以在區(qū)間上是減函數(shù)

從而當(dāng)時，

所以在上是減函數(shù)，從而

故當(dāng)時不符合題意.

（3）當(dāng)時，因為時， ，所以是減函數(shù)

從而當(dāng)時，

所以是減函數(shù)，從而

故當(dāng)時不符合題意

綜上的取值范圍是.