Question

冪指函數(shù)y=f（x）^g（x）在求導(dǎo)數(shù)時，可以運(yùn)用對數(shù)法：在函數(shù)解析式兩邊求對數(shù)得ln y=g（x）ln f（x），兩邊求導(dǎo)數(shù)得

y′

y

=g′（x）ln f（x）+g（x）

f′(x)

f(x)

，于是y′=f（x）^g（x）•[g′（x）lnf（x）+g（x）

f′(x)

f(x)

]．運(yùn)用此法可以探求得知y=x

1

x

的一個單調(diào)遞增區(qū)間為（　　）

• A、（0，2）
• B、（2，3）
• C、（e，4）
• D、（3，8）

Answer 1

考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性

專題：導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：仔細(xì)分析題意，找出f（x），φ（x），然后依據(jù)題意求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，判斷導(dǎo)數(shù)的單調(diào)性，求出單調(diào)增區(qū)間即可．

解答： 解：仿照題目給定的方法，f（x）=x，φ（x）=

1

x

，
所以f′（x）=1，φ′（x）=-

1

x2

，
由于y′=f（x）φ（x）[φ′（x）lnf（x）+φ（x）

f′(x)

f(x)

]，
所以y′=x

1

x

（-

1

x2

lnx+

1

x

•

1

x

）=x

1

x

•

1-lnx

x2

，
∵x＞0，∴x

1

x

＞0，x²＞0，
∴要使y′＞0，只要 1-lnx＞0，解得：x∈（0，e）
故y=x

1

x

 的一個單調(diào)遞增區(qū)間為：（0，e），
故選：A．

點(diǎn)評：本題考查對數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)，導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算，函數(shù)的單調(diào)性與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系，考查計算能力，分析問題解決問題的能力，是基礎(chǔ)題．