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【題目】已知右焦點為的橢圓關于直線對稱的圖形過坐標原點.

是橢圓的左頂點，斜率為的直線交于，兩點，點在上，.

（Ⅰ）當時，求的面積；

（Ⅱ）當時，證明：.

【答案】（Ⅰ）；

（Ⅱ）證明詳見解析

【解析】

（Ⅰ）由橢圓關于直線的對稱圖形過原點，可得a、c的關系，再由a、b、c的關系，可得a、c的值，進而求得橢圓方程，由可知兩線段關于x軸對稱，直線AM傾斜角為，求出直線方程，與橢圓方程聯立求得交點坐標，進而求得三角形面積.

（Ⅱ）用設而不求的方式，分別假設兩條直線方程，并求出弦長，且兩直線斜率互為負倒數，根據兩弦長之間的斜率關系，得出斜率k的方程，根據函數與方程的關系，通過求導分析，證明結論.

（Ⅰ）由題意得橢圓的焦點在軸上，∵橢圓關于直線對稱的圖形過坐標原點，∴，∵，∴，解得.∴橢圓的方程為.設，則由題意知.

由已知及橢圓的對稱性知，直線的傾斜角為，

又，因此直線的方程為.

將代入得，

解得或，所以.

因此的面積.

（2）將直線的方程代入得

.

由得，故.

由題設，直線的方程為，故同理可得.

由得，即.

設，則是的零點，，

所以在單調遞增，又，，

因此在有唯一的零點，且零點在內，所以.

練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數學 來源： 題型：

【題目】如圖4，在四棱錐中，底面，底面為直角梯形，，過作平面分別交線段于點.

（1）證明：；

（2）若直線與平面所成的線面角的正切值為，則當點在線段的何處時，直線與平面所成角為？

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科目：高中數學 來源： 題型：

【題目】在平面直角坐標系中，直線的參數方程為（為參數），其中為直線的傾斜角.以坐標原點為極點，以軸的正半軸為極軸，建立極坐標系，曲線的極坐標方程是.

（1）寫出直線的普通方程和曲線的直角坐標方程；

（2）若點的極坐標為，直線經過點且與曲線相交于兩點，求兩點間的距離的值.

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科目：高中數學 來源： 題型：

【題目】某企業(yè)為確定下一年投入某種產品的研發(fā)費用，需了解年研發(fā)費用（單位：千萬元）對年銷售量y（單位：萬件）的影響，統計了近10年投入的年研發(fā)費用x，與年銷售量的數據，得到散點圖如圖所示：

（1）利用散點圖判斷，和（其中 為大于0的常數）哪一個更適合作為年研發(fā)費用和年銷售量的回歸方程類型（只要給出判斷即可，不必說明理由）.

（2）對數據作出如下處理：令，，得到相關統計量的值如下表：

15

15

28.25

56.5

根據（1）的判斷結果及表中數據，求關于的回歸方程；

（3）已知企業(yè)年利潤z（單位：千萬元）與，的關系為（其中…），根據（2）的結果，要使得該企業(yè)下年的年利潤最大，預計下一年應投入多少研發(fā)費用?

附：對于一組數據，…，，其回歸直線的斜率和截距的最小二乘估計分別為，

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科目：高中數學 來源： 題型：

【題目】某IT從業(yè)者繪制了他在26歲～35歲(2009年～2018年)之間各年的月平均收入（單位：千元）的散點圖：

（1）由散點圖知，可用回歸模型擬合與的關系，試根據附注提供的有關數據建立關于的回歸方程

（2）若把月收入不低于2萬元稱為“高收入者”.

試利用（1）的結果，估計他36歲時能否稱為“高收入者”？能否有95%的把握認為年齡與收入有關系？

附注：①.參考數據：，，,，，,，其中，取，

②.參考公式：回歸方程中斜率和截距的最小二乘估計分別為:，

P（K2≥k）

0.050

0.010

0.001

k

3.841

6.635

10.828

③.．

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科目：高中數學 來源： 題型：

【題目】（2017-2018學年安徽省六安市第一中學高三上學期第二次月考）已知函數是偶函數.

(1)求的值;

(2)若函數的圖象與直線沒有交點,求的取值范圍;

(3)若函數,是否存在實數使得的最小值為0,若存在,求出的值;若不存在,請說明理由.

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科目：高中數學 來源： 題型：

【題目】已知關于的不等式，下列結論正確的是（ ）

A.當時，不等式的解集為

B.當，時，不等式的解集為

C.當時，不等式的解集可以為的形式

D.不等式的解集恰好為，那么

E.不等式的解集恰好為，那么

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科目：高中數學 來源： 題型：

【題目】已知函數f(x)＝|x－3|－|x＋1|.

(1)求f(x)的值域；

(2)解不等式：f(x)>0；

(3)若直線y＝a與f(x)的圖像無交點，求實數a的取值范圍．

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【題目】已知數列的首項，是數列的前項和，且滿足．

（1）若數列是等差數列，求的值；

（2）確定的取值集合，使時，數列是遞增數列．

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