Question

給出定義在（0，+∞）上的三個函數(shù)：f（x）=lnx，g（x）=x²-af（x），h（x）=x-a

x

，已知g（x）在x=1處取極值．
（Ⅰ）求實(shí)數(shù)a的值，并確定函數(shù)h（x）的單調(diào)性；
（Ⅱ）求證：當(dāng)1＜x＜e²時，恒有x＜

2+f(x)

2-f(x)

成立；
（Ⅲ）若函數(shù)y=m-g（x）在[

1

e

，e]上有兩個零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值,利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性,利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值

專題：導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：求a的值通過g（x）在x=1處取得極值，則有g(shù)′（1）=0，所以能求出a的值．這樣能求出h（x）的解析式，要確定h（x）的單調(diào)性，通過求導(dǎo)數(shù)判斷導(dǎo)數(shù)符號的辦法．對于第二問，恒有x＜

2+f(x)

2-f(x)

成立，可以直接構(gòu)造函數(shù)H（x）=x-

2+lnx

2-lnx

，然后判斷該函數(shù)的單調(diào)性，看能否根據(jù)單調(diào)性證明F（x）＜0．對于第三問求解的一般思路就是先計算函數(shù)在區(qū)間[

1

e

，e]取最值情況及函數(shù)在這一區(qū)間的單調(diào)性如何，從而得出對m的限制條件．

解答： 解：g（x）=x²-alnx，∴g′（x）=2x-

a

x

，∴g′（1）=2-a=0；
（Ⅰ）∴a=2，h（x）=x-2

x

，∴h′（x）=1-

1

x

；
∴x∈（0，1）時，h′（x）＜0，∴h（x）在（0，1）上單調(diào)遞減；
x∈（1，+∞）時，h′（x）＞0，∴h（x）在（1，+∞）上單調(diào)遞增．
（Ⅱ）要證x＜

2+f(x)

2-f(x)

成立，∵1＜x＜e²，∴2-f（x）＞0；
∴只要證（2-f（x））x＜2+f（x），即證f（x）＞

2x-2

x+1

；
即證lnx-

2x-2

x+1

＞0；
設(shè)F（x）=lnx-

2x-2

x+1

，則F′（x）=

(x+3)(x-1)

x(x+1)2

＞0，∴F（x）在（1，e²）上單調(diào)遞增；
∴F（x）＞F（1）=0，∴F（x）＞0，∴lnx-

2x-2

x+1

＞0，∴當(dāng)1＜x＜e²時，恒有x＜

2+f(x)

2-f(x)

成立．
（Ⅲ）y=m-x²+2lnx，則y′=

2(1-x2)

x2

；
∴函數(shù)y=m-x²+2lnx在[

1

e

，1）單調(diào)遞增，在（1，e]單調(diào)遞減；
∴該函數(shù)在x=1處取到極大值，也是最大值；
∴要使函數(shù)y=m-g（x）在[

1

e

，e]上有兩個零點(diǎn)；
∵x=1時，y=m-1；
x=

1

e

時，y=m-

1

e2

-2；
x=e時，y=m-e²+2，∴有：

m-1＞0 m- 1 e2 -2≤0 m-e2+2≤0

；
∴解得：1＜m≤

1

e2

+2，即m的取值范圍是（1，

1

e2

+2]．

點(diǎn)評：考查的知識點(diǎn)為：利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性，極值的概念，函數(shù)的最值．對于第二問，需要學(xué)會構(gòu)造函數(shù)，判斷函數(shù)的單調(diào)性，然后根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性證明不等式．注意第三問所用的方法就是，先求函數(shù)在區(qū)間上的最值，根據(jù)是最大值還是最小值，通過限制閉區(qū)間兩個端點(diǎn)值及最值的符號，從而求出m的取值范圍．