Question

如圖，ABC為一直角三角形草坪，其中∠C=90°，BC=2米，AB=4米，為了重建草坪，設(shè)計師準(zhǔn)備了兩套方案：

方案一：擴大為一個直角三角形，其中斜邊DE過點B，且與AC平行，DF過點A，EF過點C；
方案二：擴大為一個等邊三角形，其中DE過點B，DF過點A，EF過點C．
（1）求方案一中三角形DEF面積S₁的最小值；
（2）求方案二中三角形DEF面積S₂的最大值．

Answer 1

考點：基本不等式在最值問題中的應(yīng)用

專題：綜合題,不等式的解法及應(yīng)用

分析：（1）在方案一：在三角形AFC中，設(shè)∠ACF=α，α∈（0，

π

2

），表示出三角形DEF面積S₁，利用基本不等式求出最小值；
（2）在方案二：在三角形DBA中，設(shè)∠DBA=β，β∈（0，

2π

3

），表示出三角形DEF面積S₁，利用輔助角公式求出最小值．

解答： 解：（1）在方案一：在三角形AFC中，設(shè)∠ACF=α，α∈（0，

π

2

），
則AF=2

3

sinα，F(xiàn)C=2

3

cosα，…（2分）
因為DE∥AC，所以∠E=α，EC=

2

sinα

，
且

FA

AD

=

FC

CE

，即

2 3 sinα

AD

=

2 3 cosα

2 sinα

，…（4分）
解得AD=

2

cosα

，…（6分）
所以S1=

1

2

(2

3

sinα+

2

cosα

)(2

3

cosα+

2

sinα

)=3(sin2α+

4

3sin2α

)+4

3

，
所以當(dāng)sin2α=1，即α=45°時，S₁有最小值7+4

3

． …（8分）
（2）在方案二：在三角形DBA中，設(shè)∠DBA=β，β∈（0，

2π

3

），則

DB

sin(120°-β)

=

AB

sin60°

，
解得DB=

8

3

sin(120°-β)，…（10分）
三角形CBE中，有

EB

sinβ

=

CB

sin60°

，解得EB=

4

3

sinβ，…（12分）
則等邊三角形的邊長為

8

3

sin(120°-β)+

4

3

sinβ=

4

3

(2sinβ+

3

cosβ)，…（14分）
所以邊長的最大值為

4 7

3

，所以面積S₂的最大值為

3

4

×(

4 7

3

)2=

28 3

3

．…（16分）

點評：本題考查基本不等式在最值問題中的應(yīng)用，考查學(xué)生利用數(shù)學(xué)知識解決實際問題，屬于中檔題．