Question

已知函數(shù)f(x)，當x、y∈R時，恒有f(x＋y)＝f(x)＋f(y)．

(1)求證：f(x)是奇函數(shù)；

(2)求證：f(x)在R上是遞減的；

(3)如果x>0時，f(x)<0，并且f(1)＝－，試求f(x)在區(qū)間[－2,6]上的最值．

Answer 1

 (1)∵函數(shù)定義域為R，

∴在f(x＋y)＝f(x)＋f(y)中令y＝－x得，

∴f(0)＝f(x)＋f(－x)．令x＝0，

∴f(0)＝f(0)＋f(0)，∴f(0)＝0.

∴f(－x)＝－f(x)，

∴f(x)為奇函數(shù)．

(2)設(shè)x₁<x₂，且x₁、x₂∈R.

則f(x₂－x₁)＝f[x₂＋(－x₁)]＝f(x₂)＋f(－x₁)

＝f(x₂)－f(x₁)．

∵x₂－x₁>0，∴f(x₂－x₁)<0.∴f(x₂)－f(x₁)<0.

即f(x)在R上單調(diào)遞減．

(3)由(2)知f(x)在[－2,6]上為減函數(shù)．

∴f(－2)為最大值，f(6)為最小值．

∵f(1)＝－，∴f(2)＝f(1)＋f(1)＝－1，

∴f(－2)＝－f(2)＝1，

f(6)＝2f(3)＝2[f(1)＋f(2)]＝－3.

∴所以f(x)在區(qū)間[－2,6]上的最大值為1，最小值為－3.