Question

如圖,已知橢圓C1的中心在原點(diǎn)O,長(zhǎng)軸的左、右端點(diǎn)M,N在x軸上,橢圓C2的短軸為MN,且橢圓C1,C2的離心率都為e,直線(xiàn)l⊥MN,l與橢圓C1交于B,C兩點(diǎn),與橢圓C2交于A,D兩點(diǎn),這四點(diǎn)按縱坐標(biāo)從大到小依次為A,B,C,D.

(1) 設(shè)e=,求BC與AD的比值;

(2) 當(dāng)e變化時(shí),是否存在直線(xiàn)l,使得|BO∥AN|請(qǐng)說(shuō)明理由.

Answer 1

 (1) 因?yàn)闄E圓C1,C2的離心率相同,故依題意可設(shè)

橢圓C1:+=1,橢圓C2:+=1(a>b>0),

設(shè)直線(xiàn)l:x=t(|t|<a),分別與橢圓C1,C2的方程聯(lián)立,求得A,B.

當(dāng)e=時(shí),b=a,分別用yA,yB表示A,B的縱坐標(biāo),可知

BC∶AD===,

故BC與AD的比值為3∶4.

(2) 當(dāng)t=0時(shí),l不符合題意.當(dāng)t≠0時(shí),若BO∥AN,則當(dāng)且僅當(dāng)BO的斜率kBO與AN的斜率kAN相等,即

=,

解得t=-=.

因?yàn)閨t|<a,又0<e<1,所以<1,解得<e<1.所以當(dāng)0<e≤時(shí),不存在直線(xiàn)l,使得BO∥AN;

當(dāng)<e<1時(shí),存在直線(xiàn)l使得BO∥AN.