Question

已知直線（3m+1）x+（1-m）y-4=0所過(guò)定點(diǎn)的橫、縱坐標(biāo)分別是等差數(shù)列{a_n}的第1項(xiàng)與第2項(xiàng)，若b_n=

1

an•an+1

，則數(shù)列{b_n}的前10項(xiàng)和為

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)列的求和

專(zhuān)題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：3mx+x+y-my-4=0過(guò)定點(diǎn)（1，3），從而得到a_n=2n-1，b_n=

1

an•an+1

=

1

2

(

1

2n-1

-

1

2n+1

)，由此利用裂項(xiàng)求和法能求出數(shù)列{b_n}的前10項(xiàng)和．

解答： 解：3mx+x+y-my-4=0
x+y-4=m（y-3x）
則x+y-4=0且y-3x=0，
解得x=1，y=3
∵直線（3m+1）x+（1-m）y-4=0所過(guò)定點(diǎn)的橫、縱坐標(biāo)分別是等差數(shù)列{a_n}的第1項(xiàng)與第2項(xiàng)，
∴a₁=1，a₂=3，∴d=3-1=2，
∴a_n=2n-1，
∴b_n=

1

an•an+1

=

1

(2n-1)(2n+1)

=

1

2

(

1

2n-1

-

1

2n+1

)，
∴S_n=

1

2

（1-

1

3

+

1

3

-

1

5

+…+

1

2n-1

-

1

2n+1

）
=

1

2

（1-

1

2n+1

）
=

n

2n+1

．
∴S10=

10

21

．
故答案為：

10

21

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查數(shù)列的前10項(xiàng)和的求法，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意裂項(xiàng)求和法的合理運(yùn)用．