Question

如圖，直角梯形ABCD中，∠ABC＝90°，AB＝BC＝2AD＝4，點(diǎn)E，F分別是AB，CD的中點(diǎn)，點(diǎn)G在EF上，沿EF將梯形ABCD翻折，使平面AEFD⊥平面EBCF.

(1)當(dāng)AG＋GC最小時(shí)，求證：BD⊥CG；

(2)當(dāng)2V_B－ADGE＝V_D－GBCF時(shí)，求二面角D－BG－C的余弦值．

Answer 1

解：(1)∵點(diǎn)E，F分別是AB，CD的中點(diǎn)，

∴EF∥BC，又∠ABC＝90°，

∴AE⊥EF，∵平面AEFD⊥平面EBCF，

∴AE⊥平面EBCF，AE⊥EF，AE⊥BE，又BE⊥EF，

如圖，建立空間直角坐標(biāo)系E－xyz.

翻折前，連接AC交EF于點(diǎn)G，此時(shí)點(diǎn)G使得AG＋GC最小．

EG＝BC＝2，又知EA＝EB＝2，

則A(0,0,2)，B(2,0,0)，C(2,4,0)，D(0,2,2)，

E(0,0,0)，G(0,2,0)，

∴BD⊥CG.

(2)設(shè)EG＝k，

∵AD∥平面EFCB，∴點(diǎn)D到平面EFCB的距離即為點(diǎn)A到平面EFCB的距離．

∵S_{四邊形GBCF}＝[(3－k)＋4]×2＝7－k，

∴V_D－GBCF＝·S_{四邊形GBCF}·AE＝(7－k)．

又V_B－ADGE＝S_{四邊形ADGE}·BE＝(2＋k)，

2V_B－ADGE＝V_D－GBCF，∴(2＋k)＝(7－k)，

∴k＝1，即EG＝1.

∵所求二面角D－BG－C的平面角為銳角，

∴此二面角的余弦值為.

解法二：過(guò)點(diǎn)D作DH⊥EF，垂足為H，過(guò)點(diǎn)H作BG延長(zhǎng)線的垂線HO，垂足為O，連接OD.

∵平面AEFD⊥平面EBCF，

∴DH⊥平面EBCF，∴OD⊥OB，

∴∠DOH就是二面角D－BG－C的一個(gè)平面角．

由于HG＝1，在△OHG中，OH＝，

又DH＝2，在△DOH中，

tan∠DOH＝＝，

∴cos ∠DOH＝，

∴此二面角的余弦值為.