Question

如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是邊長為2的菱形，∠ABC=60°，E、F分別是PB、CD的中點，且PB=PC=PD=4．
（1）求證：PA⊥平面ABCD；
（2）求證：EF∥平面PAD；
（3）求二面角A-PB-C的余弦值．

Answer 1

考點：與二面角有關(guān)的立體幾何綜合題,直線與平面平行的判定,直線與平面垂直的判定

專題：空間位置關(guān)系與距離,空間角

分析：（1）取BC的中點M，連結(jié)AM，PM，由已知條件推導(dǎo)出PA⊥BC，PA⊥CD，由此能證明PA⊥平面ABCD．
（2）取PA的中點N，連結(jié)EN，ND，由已知得四邊形ENDF是平行四邊形，由此能證明EF∥平面PAD．
（3）取AB的中點G，過G作GH⊥PB于點H，連結(jié)HC，GC，由已知得∠GHC是二面角A-PB-C的平面角，由此能求出二面角A-PB-C的余弦值．

解答： （1）證明：取BC的中點M，連結(jié)AM，PM．
∵AB=BC，∠ABC=60°，∴△ABC為正三角形，∴AM⊥BC．
又PB=PC，∴PM⊥BC，AM∩PM=M，
∴BC⊥平面PAM，PA?平面PAM，∴PA⊥BC，
同理可證PA⊥CD，
又BC∩CD=C，∴PA⊥平面ABCD．…（4分）．
（2）證明：取PA的中點N，連結(jié)EN，ND．
∵PE=EB，PN=NA，∴EN∥AB，且EN=

1

2

AB．
又FD∥AB，且FD=

1

2

AB，∴EN

∥ .

.

DF，
∴四邊形ENDF是平行四邊形，
∴EF∥ND，而EF?平面PAD，ND?平面PAD，
∴EF∥平面PAD．…（8分）
（3）解：取AB的中點G，過G作GH⊥PB于點H，連結(jié)HC，GC．
則CG⊥AB，又CG⊥PA，PA∩AB=A，
∴CG⊥平面PAB．∴HC⊥PB，
∴∠GHC是二面角A-PB-C的平面角．
在Rt△PAB中，AB=2，PB=4，∴PA=2

3

．
又Rt△BHG∽Rt△BAP，∴

HG

PA

=

BG

PB

，∴HG=

3

2

．
在Rt△HGC中，可求得GC=

3

，
∴HC=

15

2

，∴cos∠GHC=

5

5

，
故二面角A-PB-C的余弦值為

5

5

．…（12分）．

點評：本題考查PA⊥平面ABCD的證明，考查EF∥平面PAD的證明，考查二面角A-PB-C的余弦值的求法，解題時要注意空間思維能力的培養(yǎng)．