Question

已知橢圓的離心率為,且過點,拋物線的焦點坐標為.

（1）求橢圓和拋物線的方程；

(2)若點是直線上的動點，過點作拋物線的兩條切線，切點分別是，直線交橢圓于兩點.

(i)求證：直線過定點，并求出該定點的坐標；

(ii)當的面積取最大值時，求直線的方程.

 

Answer 1

解：(1)橢圓C₁：+ y²=1；C₂：x²=-2y ----4分

(2)(i)設點M(x₀,y₀),且滿足2x₀-4y₀+3=0,點A(x₁,y₁) ,B(x₂ ,y₂), 對于拋物線y= - ,y¢ = - x , 則切線MA的斜率為-x₁ ,從而切線MA的方程為：y–y₁=-x₁(x-x₁),即：x₁x+y+y₁=0 ,同理：切線MB的方程為：x₂x+y+y₂=0 ，

又因為同時過M點，所以分別有：x₁x₀+y₀+y₁=0和x₂x₀+y₀+y₂=0，因此A，B同時在直線x₀x+y+y₀=0上，又因為：2x₀-4y₀+3=0，所以：AB方程可寫成：y₀(4x+2)+(2y-3x)= 0,顯然直線AB過定點：(- ,- ).---------6分

(ii)直線AB的方程為：x₀x+y+y₀=0，代入橢圓方程中得：(1+4x₀²)x²+8x₀y₀x+4y₀²-4=0

令P(x₃,y₃),Q(x₄,y₄) , D = 16(4x₀²- y₀²+1)>0,

x₃+x₄ = - ；x₃x₄ = 

|PQ| = ·= ·-------8分

點O到PQ的距離為：d=

從而S_DOPQ = ·|PQ|·d = ×·×

= 2×£ =1 ---------10分

當且僅當y₀² = 4x₀²- y₀²+1時等號成立,又2x₀-4y₀+3=0聯(lián)立解得：x₀= ,y₀= 1或x₀= - ,y₀= ；

從而所求直線AB的方程為：x+2y+2=0 或x-14y-10=0------------12分