Question

(本題滿分12分)如圖所示，在正方體ABCD—A1B1C1D1中，E是棱DD1的中點.

(1)求直線BE和平面ABB1A1所成角的正弦值；

(2)在棱C1D1上是否存在一點F，使B1F∥平面A1BE？證明你的結論．

Answer 1

(1) ；(2) 點F為棱的C1D1中點時，B1F∥平面A1BE；證明見解析.

【解析】

試題分析：(1) 設正方體的棱長為1，以A為原點，直線AB、AD、AA1分別為軸、軸、軸建立空間直角坐標系如下圖所示，寫出相關點的坐標，找出平面ABB1A1的一個法向量，最后利用向量的夾角公式求解.

(2) 因為點F在棱C1D1上，設，利用向量的運算求出向量 ,利用向量的數(shù)量積求出平面的一個法向量 的坐標，最后根據(jù)⊥，利用向量的數(shù)量積確定的值.

試題解析：【解析】
設正方體的棱長為1，以A為原點，直線AB、AD、AA1分別為軸、軸、軸．則A(0，0，0)，B(1，0，0)，A1(0，0，1)，B1(0，0，1)，D(0，1，0)，D1(0，1，1)，∵E是DD1的中點，∴E(0，1，)，(-1，1，)，(-1，0，1)．

(1)∵ABCD—A1B1C1D1為正方體，∴AD⊥平面ABB1A1，即(0，1，0)為平面ABB1A1的一個法向量，直線BE和平面ABB1A1所成角的正弦值為：

；

(2)當點F為棱的C1D1中點時，B1F∥平面A1BE，證明如下：

由、的坐標可求得平面A1BE的一個法向量為(2，1，2)，

∵點F在棱C1D1上，設，則(，0，0)，

∴(，0，0)= (，1，1)，

進而= (，1，1)-(0，0，1)= (，1，0)．

∵B1F∥平面A1BE，∴⊥，即，∴，

故點F為棱的C1D1中點時，B1F∥平面A1BE得到證明．

綜合法在此省略．

考點：1、空間直線與平面的位置關系；2、空間向量在解決立體幾何問題中的應用.