Question

已知圓C：x²+y²+4x+4y+m=0，直線l：x+y+2=0．
（1）若圓C與直線l相離，求m的取值范圍；
（2）若圓D過點(diǎn)P（1，1），且與圓C關(guān)于直線l對稱，求圓D的方程．

Answer 1

考點(diǎn)：直線與圓的位置關(guān)系,圓的標(biāo)準(zhǔn)方程

專題：直線與圓

分析：（1）求出圓C的圓心與直線l相離，通過距離大于半徑，即可求m的取值范圍；
（2）通過圓D過點(diǎn)P（1，1），以及求出圓C關(guān)于直線l對稱的對稱點(diǎn)，求出圓的半徑即可求圓D的方程．

解答： 解：（1）圓C：x²+y²+4x+4y+m=0即 （x+2）²+（y+2）²=8-m
圓心C（-2，-2）到直線l的距離d=

|-2-2+2|

2

=

2

，…（2分）
若圓C與直線l相離，則d＞r，
∴r²=8-m＜2即 m＞6…（4分）
又r²=8-m＞0即 m＜8，
∴6＜m＜8…（6分）
（2）設(shè)圓D的圓心D的坐標(biāo)為（x₀，y₀），由于圓C的圓心C（-2，-2），
 依題意知：點(diǎn)D和點(diǎn)C關(guān)于直線l對稱，…（7分）
則有：

x0-2 2 + y0-2 2 +2=0 y0+2 x0+2 ×(-1)=-1

⇒

x0=0 y0=0

，…（10分）
∴圓C的方程為：x²+y²=r²，又因?yàn)閳AC過點(diǎn)P（1，1），
∴12+12=r2⇒r=

2

，
∴圓D的方程為：x²+y²=2…（12分）

點(diǎn)評：本題考查圓的方程的求法，點(diǎn)到直線的距離以及直線與的位置關(guān)系的應(yīng)用，考查計(jì)算能力．