Question

已知數(shù)學(xué)競賽出a、b、c三題，有25個學(xué)生參加競賽，每個學(xué)生至少解出一題，在沒有解出a題的學(xué)生中，解出b題的人數(shù)是解出c題人數(shù)的2倍，只解出a題的人數(shù)比其余解出a的人數(shù)多1，再解出一題的學(xué)生中只有一半不能解出a，求只解出b題的人數(shù)．

Answer 1

考點：Venn圖表達集合的關(guān)系及運算

專題：集合

分析：設(shè)出解出a、b、c三題的學(xué)生的集合分別為A、B、C，根據(jù)集合元素之間的關(guān)系，建立方程關(guān)系，進行推理即可得到結(jié)論．

解答： 解：設(shè)解出a、b、c三題的學(xué)生的集合分別為A、B、C，并用三個圓表示之，則重疊部分表示同時解出兩題或三題的學(xué)生的集合，其人數(shù)分別以x，y，z，d，e，f，g表示．
由于每個學(xué)生至少解出一題，故x+y+z+d+e+f+g=25①
由于沒有解出a題的學(xué)生中，解出b題的人數(shù)是解出c題的人數(shù)的2倍，故y+f=2（z+f）②
由于只解出a題的學(xué)生比余下的學(xué)生中解出a題的學(xué)生的人數(shù)多1，故x=d+e+g+1③
由于只解出一題的學(xué)生中，有一半沒有解出a題，故x=y+z④
由②得：y=2z+f，f=y-2z⑤
以⑤代入①消去f得x+2y-z+d+e+g=25⑥
以③、④分別代入⑥得：2y-z+2d+2e+2g=24⑦
3y+d+e+g=25⑧
以2×⑧-⑦得：4y+z=26⑨
∵z≥0，∴4y≤26，y≤6.5．
利用⑤⑨消去c，得f=y-2（26-4y）=9y-52
∵f≥0，∴9y≥52．
∵y∈Z，
∴y=6．可以解出x=8，y=6，z=2，f=2，可以知道共有15位同學(xué)解出甲題，
但只解出b題的學(xué)生有6人．

點評：本題主要考查集合關(guān)系的應(yīng)用，利用文氏圖，建立方程關(guān)系是解決本題的關(guān)鍵．運算量較大，有一點的難度．