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20.某農(nóng)場在冬季進行一次菌種培養(yǎng)需要5天時間,5天內(nèi)每天發(fā)生低溫凍害的概率均為13.如果5天內(nèi)沒有發(fā)生凍害,可獲利潤10萬元,有一天發(fā)生凍害可獲利潤5萬元,有兩天發(fā)生凍害可獲利潤0萬元,而發(fā)生3天或3天以上凍害則損失2萬元.
(1)求一次菌種培養(yǎng)不出現(xiàn)虧損的概率;
(2)求一次菌種培養(yǎng)獲得利潤ξ的分布列和數(shù)學(xué)期望.

分析 (1)設(shè)一次菌中培養(yǎng)發(fā)生3天或3天以上凍害的事件為A,利用n次獨立試驗中事件A恰好發(fā)生k次的概率計算公式求出P(A),由此利用對立事件概率計算公式能求出一次菌種培養(yǎng)不出現(xiàn)虧損的概率.
(2)一次菌種培養(yǎng)獲得利潤ξ的可能取值為10,5,0,-2,分別求出相應(yīng)的概率,由此能求出一次菌種培養(yǎng)獲得利潤ξ的分布列和數(shù)學(xué)期望.

解答 解:(1)設(shè)一次菌中培養(yǎng)發(fā)生3天或3天以上凍害的事件為A,
則P(A)=C35232133+C4523134+C55133=51243,
∴一次菌種培養(yǎng)不出現(xiàn)虧損的概率:
p=1-P(A)=1-51243=192243
(2)一次菌種培養(yǎng)獲得利潤ξ的可能取值為10,5,0,-2,
P(ξ=10)=C05235=32243
P(ξ=5)=C1523413=80243,
P(ξ=0)=C25233132=80243,
P(ξ=-2)=C35232133+C4523134+C55133=51243,
∴一次菌種培養(yǎng)獲得利潤ξ的分布列為:

 ξ 10 5 0-2
 P 32243 80243 80243 51243
∴數(shù)學(xué)期望Eξ=10×32243+5×80243+0×80243+(-2)×51243=20681(萬元).

點評 本題考查概率的求法,考查離散型隨機變量的分布列和數(shù)學(xué)期望的求法,是中檔題,解題時要認(rèn)真審題,注意n次獨立試驗中事件A恰好發(fā)生k次的概率計算公式的合理運用.

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