Question

有兩個投資項目A、B，根據(jù)市場調(diào)查與預(yù)測，A項目的利潤與投資成正比，其關(guān)系如圖甲，B項目的利潤與投資的算術(shù)平方根成正比，其關(guān)系如圖乙．（注：利潤與投資單位：萬元）

（1）分別將A、B兩個投資項目的利潤表示為投資x（萬元）的函數(shù)關(guān)系式f（x）和g（x），求y=f（x），y=g（x）在同一坐標系內(nèi)圍成封閉圖形的面積；
（2）現(xiàn)將x（0≤x≤10）萬元投資A項目，10-x萬元投資B項目．h（x）表示投資A項目所得利潤與投資B項目所得利潤之和．求h（x）的最大值，并指出x為何值時，h（x）取得最大值．

Answer 1

考點：函數(shù)的最值及其幾何意義

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（1）根據(jù)實際問題，根據(jù)題意建立函數(shù)關(guān)系式，根據(jù)函數(shù)的解析式，利用積分的幾何意義即可得到結(jié)論．
（2）根據(jù)（1）結(jié)合自變量的取值范圍，結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)即可得到結(jié)論．

解答： 解：（1）設(shè)投資x萬元，A項目的利潤為f（x）萬元，B項目的利潤為g（x）萬元，
由題意設(shè)f（x）=kx，g（x）=m

x

，
由圖象可知f（1）=k=

1

4

，g（4）=

5

2

，解得m=

5

4

，
故f（x）=

1

4

x，（x≥0），g（x）=

5

4

x

，（x≥0），
由

f(x)= 1 4 x g(x)= 5 4 x

，解得

x=0 y=0

或

x=25 y= 25 4

，
則由積分的幾何意義可得S=

∫

25 0

[g(x)-f(x)]dx=

∫

25 0

(

5

4

x

-

1

4

x)dx=

1

4

（

10

3

x

3

2

-

1

2

x2）|

25 0

=

625

24

．
（2）h（x）=f（x）+g（10-x）=

1

4

x+

5

4

10-x

，（0≤x≤10），
令t=

10-x

，則y=

10-t2

4

+

5

4

t=-(t-

5

2

)2+

65

16

，（0≤x≤10），
則當(dāng)t=

5

2

時，函數(shù)h（x）取得最大值

65

16

，此時x=3.75

點評：本題主要考查函數(shù)最值的應(yīng)用，利用條件建立函數(shù)關(guān)系是解決本題的關(guān)鍵．