Question

如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD為直角梯形，AD∥BC，∠ADC=90°，平面PAD⊥底面ABCD，E為AD中點(diǎn)，M是棱PC的中點(diǎn)，PA=PD=2，BC=

1

2

AD=1，CD=

3

，求二面角E-PA-B的正切值．

Answer 1

考點(diǎn)：二面角的平面角及求法

專題：空間位置關(guān)系與距離,空間角

分析：以Q為原點(diǎn)、EA、EB、EP分別為x軸、y軸、z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法能求出二面角E-PA-B的正切值．

解答： 解：∵PA=PD，E為AD的中點(diǎn)，∴PE⊥AD．
∵平面PAD⊥平面ABCD，且平面PAD∩平面ABCD=AD，
∴PQ⊥平面ABCD．
因此，以Q為原點(diǎn)、EA、EB、EP分別為x軸、y軸、z軸，
建立空間直角坐標(biāo)系，
如圖所示
則E（0，0，0），A（1，0，0），P（0，0，

3

），B（0，

3

，0），

PA

=（1，0，-

3

），

PB

=（0，

3

，-

3

），
設(shè)平面PAB的法向量

n

=（x，y，z），
則

n • PA =x- 3 z=0 n • PB = 3 y- 3 z=0

，
取x=3，得

n

=（3，

3

，

3

），
平面EPA的法向量

m

=（0，1，0），
設(shè)二面角E-PA-B的平面角為θ，
cosθ=|cos＜

n

，

m

＞|=|

3

9+3+3

|=

5

5

．
∴二面角E-PA-B的正切值為

5

5

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查二面角的正切值的求法，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意向量法的合理運(yùn)用．