Question

如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，

點(diǎn)A(0,3)，直線l：y＝2x－4.設(shè)圓C的半徑為1，圓心在l上．

(1)若圓心C也在直線y＝x－1上，過(guò)點(diǎn)A作圓C的切線，求切線的方程；

(2)若圓C上存在點(diǎn)M，使|MA|＝2|MO|，求圓心C的橫坐標(biāo)a的取值范圍．

審題路線　(1)由兩條直線解得圓心C的坐標(biāo)⇒設(shè)過(guò)點(diǎn)A與圓C相切的切線方程⇒由點(diǎn)到直線的距離求斜率⇒寫(xiě)出切線方程；(2)設(shè)圓C的方程⇒設(shè)點(diǎn)M(x，y)⇒由|MA|＝2|MO|得M的軌跡方程⇒由兩圓有公共點(diǎn)，列出關(guān)于a的不等式⇒解不等式可得．

 

Answer 1

解　(1)由題設(shè)，圓心C是直線y＝2x－4和y＝x－1的交點(diǎn)，解得點(diǎn)C(3,2)，于是切線的斜率必存在．

設(shè)過(guò)A(0,3)的圓C的切線方程為y＝kx＋3，

由題意，得＝1，解得k＝0或－，

故所求切線方程為y＝3或3x＋4y－12＝0.

(2)因?yàn)閳A心在直線y＝2x－4上，

所以圓C的方程為(x－a)²＋[y－2(a－2)]²＝1.

設(shè)點(diǎn)M(x，y)，因?yàn)閨MA|＝2|MO|，所以

化簡(jiǎn)得x²＋y²＋2y－3＝0，即x²＋(y＋1)²＝4，

所以點(diǎn)M在以D(0，－1)為圓心，2為半徑的圓上．

由題意，點(diǎn)M(x，y)在圓C上，所以圓C與圓D有公共點(diǎn)，則|2－1|≤|CD|≤2＋1，

即1≤≤3.整理得－8≤5a²－12a≤0.

由5a²－12a＋8≥0，得a∈R；由5a²－12a≤0，得0≤a≤.

所以點(diǎn)C的橫坐標(biāo)a的取值范圍是.