Question

【題目】已知直線(xiàn)半徑為的圓與直線(xiàn)相切,圓心在軸上且在直線(xiàn)的上方.

（1）求圓的方程;

（2）設(shè)過(guò)點(diǎn) 的直線(xiàn)被圓截得弦長(zhǎng)等于,求直線(xiàn)的方程;

（3）過(guò)點(diǎn)的直線(xiàn)與圓交于兩點(diǎn)（在軸上方）,問(wèn)在軸正半軸上是否存在點(diǎn),使得軸平分?若存在,求出點(diǎn)的坐標(biāo);若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.

Answer 1

【答案】（1）;（2）或;（3）當(dāng)點(diǎn),能使得總成立.

【解析】

（1）設(shè)出圓心坐標(biāo)根據(jù)直線(xiàn)與圓相切,得到圓心到直線(xiàn)的距離,確定出圓心坐標(biāo),即可得出圓方程;

（2）根據(jù)垂徑定理及勾股定理,由過(guò)點(diǎn)的直線(xiàn)被圓截得的弦長(zhǎng)等于,分直線(xiàn)斜率存在與不存在兩種情況求出直線(xiàn)的方程即可;

（3）當(dāng)直線(xiàn)軸則軸平分,當(dāng)直線(xiàn)斜率存在時(shí),設(shè)直線(xiàn)方程為,聯(lián)立圓與直線(xiàn)方程消去得到關(guān)于的一元二次方程,利用韋達(dá)定理表示出兩根之和與兩根之積,由若軸平分,則,求出的值,確定出此時(shí)坐標(biāo)即可.

解:（1）設(shè)圓心,

因?yàn)橹本�(xiàn),半徑為的圓與相切,

,即,解得或（舍去）,

則圓方程為: .

（2）由題意可知圓心到直線(xiàn)的距離為

若直線(xiàn)斜率不存在,則直線(xiàn),圓心到直線(xiàn)的距離為1;

若直線(xiàn)斜率存在,設(shè)直線(xiàn),即,

則有 ,即,此時(shí)直線(xiàn),

綜上直線(xiàn)的方程為或;

（3）當(dāng)直線(xiàn)軸,則軸平分,若軸平分,

則,即,

整理得:,

即,

解得:,

當(dāng)點(diǎn),能使得總成立.