Question

若關(guān)于x的兩個不等式f（x）＜0和g（x）＜0的解集分別為（a，b）和（

1

b

，

1

a

），則稱這兩個不等式為“對偶不等式”．如果不等式x²-4

3

xcos2θ+2＜0與不等式2x²+4xsin2θ+1＜0為對偶不等式，且θ∈（0，

π

2

），則θ=

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：一元二次不等式的解法

專題：不等式的解法及應(yīng)用

分析：依題意知，a、b為x2-4

3

xcos2θ+2=0的兩根，方程2x²+4xsin2θ+1=0的兩根為

1

a

、

1

b

，利用韋達(dá)定理可得tan2θ=-

3

，θ∈（0，

π

2

），從而可求θ．

解答： 解：設(shè)方為a、b，則a+b=4

3

cos2θ，ab=2，
又方程2x²+4xsin2θ+1=0的兩根為

1

a

、

1

b

，所以

1

a

+

1

b

=-2sin2θ，
所以

4 3 cos2θ

2

=-2sin2θ，即tan2θ=-

3

，
因?yàn)?span id="mvxnraj" class="MathJye">θ∈(0，

π

2

)，
所以θ=

π

3

．
故答案為：

π

3

點(diǎn)評：本題考查三角函數(shù)的化簡求值，考查方程思想與韋達(dá)定理的應(yīng)用，求得tan2θ=-

3

是關(guān)鍵，考查運(yùn)算求解能力，屬于中檔題．