Question

【題目】已知橢圓C： + =1（a＞b＞0）的離心率為 ，且經過點M（﹣3，﹣1）．
（Ⅰ）求橢圓C的方程；
（Ⅱ）若直線l：x﹣y﹣2=0與橢圓C交于A，B兩點，點P為橢圓C上一動點，當△PAB的面積最大時，求點P的坐標及△PAB的最大面積．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）∵橢圓C： + =1（a＞b＞0）的離心率為 ，且經過點M（﹣3，﹣1），

∴ ，解得a2=12，b2=4，

∴橢圓C的方程為 ．

（Ⅱ）將直線x﹣y﹣2=0代入 中，消去y得，x2﹣3x=0．

解得x=0或x=3．…（5分）

∴點A（0，﹣2），B（3，1），∴|AB|= =3 ．

在橢圓C上求一點P，使△PAB的面積最大，則點P到直線l的距離最大．

設過點P且與直線l平行的直線方程為y=x+b．

將y=x+b代入 ，整理得4x2+6bx+3（b2﹣4）=0．

令△=（6b）2﹣4×4×3（b2﹣4）=0，解得b=±4．

將b=±4代入方程4x2+6bx+3（b2﹣4）=0，解得x=±3．

由題意知當點P的坐標為（﹣3，1）時，△PAB的面積最大．

且點P（﹣3，1）到直線l的距離為d= =3 ．

△PAB的最大面積為S= =9．

【解析】（Ⅰ）利用橢圓的離心率為 ，且經過點M（﹣3，﹣1），列出方程組，求出a，b，由此能求出橢圓C的方程．（Ⅱ）將直線x﹣y﹣2=0代入 中，得，x2﹣3x=0．求出點A（0，﹣2），B（3，1），從而|AB|=3 ，在橢圓C上求一點P，使△PAB的面積最大，則點P到直線l的距離最大．設過點P且與直線l平行的直線方程為y=x+b．將y=x+b代入 ，得4x2+6bx+3（b2﹣4）=0，由根的判別式求出點P（﹣3，1）時，△PAB的面積最大，由此能求出△PAB的最大面積．