Question

在當今的信息化社會中，信息安全顯得尤為重要，為提高信息在傳輸中的安全性，通常在原信息中按一定規(guī)則對信息加密，設定原信息為A₀=a₁a₂…a_n，a_i∈{0，1}（i=1，2，3…n），傳輸當中原信息中的1都轉(zhuǎn)換成01，原信息中的0轉(zhuǎn)換成10，定義這種數(shù)字的轉(zhuǎn)換為變換T，在多次的加密過程中，滿足A_k=T（A_k-1），k=1，2，3，…．
（1）若A₂：10010110，則A₀為

 

；
（2）若A₀為10，記A_K中連續(xù)兩項都是l的數(shù)對個數(shù)為l_K，k=l，2，3，…，則l_K=

 

．

Answer 1

考點：加密和數(shù)字簽名的方法,進行簡單的合情推理

專題：推理和證明

分析：（1）由變換T的定義可知，若A₂：10010110，則A₀為 10；
（2）因為1轉(zhuǎn)換成01，0轉(zhuǎn)換成10，所以10轉(zhuǎn)換成0110；故考慮A_k中10數(shù)對的個數(shù)，設A_k中10數(shù)對的個數(shù)為a_k，而A_k+1中11數(shù)對只能由A_k中10數(shù)對變換得到，所以l_K+1=a_k，l_K+2=a_k+1，故考慮A_k+1中數(shù)對10的個數(shù)a_k+1，而A_k+1中10數(shù)對可能由A_k中0得到，也可由A_k中的11得到，根據(jù)變換T的定義以及A₀，可得A_k中0和1的個數(shù)總相等，且有2^k個，故a_k+1=2^k+l_k，l_k+2=a_k+1=2^k+l_k，然后分k為奇數(shù)、偶數(shù)時，求出l_K的表達式即可．

解答： 解：（1）由變換T的定義可知，若A₂：10010110，則A₀為 10；
（2）因為1轉(zhuǎn)換成01，0轉(zhuǎn)換成10，
所以10轉(zhuǎn)換成0110；
故考慮A_k中10數(shù)對的個數(shù)，設A_k中10數(shù)對的個數(shù)為a_k，
而A_k+1中11數(shù)對只能由A_k中10數(shù)對變換得到，
所以l_K+1=a_k，l_K+2=a_k+1，
故考慮A_k+1中數(shù)對10的個數(shù)a_k+1，
而A_k+1中10數(shù)對可能由A_k中0得到，也可由A_k中的11得到，
根據(jù)變換T的定義以及A₀，
可得A_k中0和1的個數(shù)總相等，且有2^k個，
故a_k+1=2^k+l_k，l_k+2=a_k+1=2^k+l_k，
又由A₀：10變換得到A₁：0110，A₂：10010110，
所以l₁=l₂=1，
當k為奇數(shù)時（k≥3，k∈N^*），
疊加得lk=l1+21+23+…+2k-2=

2k+1

3

，k=1時也成立，
同理，當k為偶數(shù)數(shù)時（k≥4k∈N^*），
lk=l1+22+24+26+...2k-2=

2k-1

3

，k=2時也成立，
綜上，可得則l_K=

2k-(-1)k

3

，k∈N^*．
故答案為：10、

2k-(-1)k

3

，k∈N^*．

點評：本題主要考查了加密的方法的運用，以及進行簡單的合情推理的方法的運用，考查了分類討論思想的運用，屬于中檔題．