Question

已知數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n，且有a₁=2，3S_n=5a_n-a_n-1（n≥2）
（Ⅰ）求數(shù)列a_n的通項(xiàng)公式；
（Ⅱ）若b_n=（2n-1）a_n，求數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和T_n．

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)列的求和,數(shù)列遞推式

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（Ⅰ）把已知的數(shù)列遞推式變形得到數(shù)列{a_n}是以2為首項(xiàng)，以

1

2

為公比的等比數(shù)列，然后直接由等比數(shù)列的通項(xiàng)公式得答案；
（Ⅱ）把數(shù)列a_n的通項(xiàng)公式代入b_n=（2n-1）a_n，然后利用錯(cuò)位相減法求數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和T_n．

解答： 解：（Ⅰ）∵3S_n-3S_n-1=5a_n-a_n-1，（n≥2），
∴2an=an-1，

an

an-1

=

1

2

，
又∵a₁=2，
∴數(shù)列{a_n}是以2為首項(xiàng)，以

1

2

為公比的等比數(shù)列．
∴an=2×(

1

2

)n-1=(

1

2

)n-2=22-n；
（Ⅱ）bn=(2n-1)22-n，
Tn=1×21+3×20+5×2-1…+(2n-1)•22-n．

1

2

Tn=1×20+3×2-1+…+(2n-3)•22-n+(2n-1)•21-n．
∴

1

2

Tn=2+2(20+2-1+…+22-n)-(2n-1)•21-n
=2+

2[1-(2-1)n-1]

1-2-1

-(2n-1)21-n=6-（2n+3）×2^1-n．
∴Tn=12-(2n+3)×22-n．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了數(shù)列遞推式，考查了等比關(guān)系的確定，訓(xùn)練了錯(cuò)位相減法求數(shù)列的和，是中檔題．