Question

9．設(shè)函數(shù)f（x）是（-∞，0）∪（0，+∞）上的偶函數(shù)，x＞0時f（x）=x-$\frac{1}{x}$，求x＜0時f（x）的表達式，判斷f（x）在（-∞，0）上的單調(diào)性，并用定義給出證明．

Answer 1

分析 由已知得x＜0時，f（x）=（-x）-$\frac{1}{-x}$=-x+$\frac{1}{x}$，f（x）在（-∞，0）上的單調(diào)遞減，利用定義法能進行證明．

解答 解：∵函數(shù)f（x）是（-∞，0）∪（0，+∞）上的偶函數(shù)，
x＞0時f（x）=x-$\frac{1}{x}$，
∴x＜0時，f（x）=（-x）-$\frac{1}{-x}$=-x+$\frac{1}{x}$，
f（x）在（-∞，0）上的單調(diào)遞減，證明如下：
在（-∞，0）上任取x₁，x₂，令x₁＜x₂，
則f（x₁）-f（x₂）=（-x₁+$\frac{1}{{x}_{1}}$）-（-x₂+$\frac{1}{{x}_{2}}$）=（x₂-x₁）+$\frac{{x}_{2}-{x}_{1}}{{x}_{1}{x}_{2}}$=（x₂-x₁）（1-$\frac{1}{{x}_{1}{x}_{2}}$），
∵x₁，x₂∈（-∞，0），x₁＜x₂，
∴f（x₁）-f（x₂）=（x₂-x₁）（1-$\frac{1}{{x}_{1}{x}_{2}}$）＞0，
∴f（x）在（-∞，0）上的單調(diào)遞減．

點評 本題考查函數(shù)的解析式的求法，考查函數(shù)的單調(diào)性的判斷與證明，是中檔題，解題時要認真審題，注意函數(shù)性質(zhì)的合理運用．