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9.已知函數(shù)f(x)={sin^2}ωx+(2\sqrt{3}sinωx-cosωx)cosωx-λ的圖象關(guān)于直線x=π對(duì)稱,其中ω,λ為常數(shù),且ω∈(\frac{1}{2},1).
(1)求函數(shù)f (x)的最小正周期;
(2)若存在{x_0}∈[0,\frac{3π}{5}],使f(x0)=0,求λ的取值范圍.

分析 (1)利用三角函數(shù)恒等變換的應(yīng)用化簡函數(shù)解析式可得f(x)=2sin(2ωx-\frac{π}{6})-λ,利用正弦函數(shù)的對(duì)稱性解得:2ωx-\frac{π}{6}=kπ+\frac{π}{2},結(jié)合范圍ω∈(\frac{1}{2},1),可得ω的值,利用周期公式即可得解.
(2)令f(x0)=0,則λ=2sin(\frac{5{x}_{0}}{3}-\frac{π}{6}),結(jié)合范圍-\frac{π}{6}\frac{5{x}_{0}}{3}-\frac{π}{6}\frac{5π}{6},由正弦函數(shù)的性質(zhì)可得-\frac{1}{2}≤sin(\frac{5{x}_{0}}{3}-\frac{π}{6})≤1,進(jìn)而得解λ的取值范圍.

解答 (本題滿分為12分)
解:(1)f(x)={sin^2}ωx+(2\sqrt{3}sinωx-cosωx)cosωx-λ
=\sqrt{3}sin2ωx-cos2ωx-λ=2sin(2ωx-\frac{π}{6})-λ,
∵函數(shù)f(x)的圖象關(guān)于直線x=π對(duì)稱,
∴解得:2ωx-\frac{π}{6}=kπ+\frac{π}{2},可得:ω=\frac{k}{2}+\frac{1}{3}(k∈Z),
∵ω∈(\frac{1}{2},1).可得k=1時(shí),ω=\frac{5}{6}
∴函數(shù)f (x)的最小正周期T=\frac{2π}{2ω}=\frac{6π}{5}…6分
(2)令f(x0)=0,則λ=2sin(\frac{5{x}_{0}}{3}-\frac{π}{6}),
由0≤x0\frac{3π}{5},可得:-\frac{π}{6}\frac{5{x}_{0}}{3}-\frac{π}{6}\frac{5π}{6}
則-\frac{1}{2}≤sin(\frac{5{x}_{0}}{3}-\frac{π}{6})≤1,
根據(jù)題意,方程λ=2sin(\frac{5{x}_{0}}{3}-\frac{π}{6})在[0,\frac{3π}{5}]內(nèi)有解,
∴λ的取值范圍為:[-1,2]…12分

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了三角函數(shù)恒等變換的應(yīng)用,正弦函數(shù)的對(duì)稱性,三角函數(shù)的周期公式,考查了轉(zhuǎn)化思想和數(shù)形結(jié)合思想,屬于中檔題.

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