Question

設(shè)函數(shù)f（x）=2sin²x+sinxcosx+cos²x
（Ⅰ）求函數(shù)f（x）的最小正周期；
（Ⅱ）求函數(shù)f（x）在區(qū)間[0，

π

2

]上的最大值和最小值．

Answer 1

考點：三角函數(shù)中的恒等變換應(yīng)用

專題：三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)

分析：（Ⅰ）利用二倍角公式和兩角和公式對原式化簡，進而根據(jù)周期公式求得函數(shù)的最小正周期．
（Ⅱ）根據(jù)x的范圍確定2x-

π

4

的范圍，進而利用正弦函數(shù)的圖形和性質(zhì)求得函數(shù)的最大和最小值．

解答： 解：（Ⅰ）f（x）=sin²x+sinxcosx+1=

1

2

sin2x-

1

2

cos2x+

3

2

=

2

2

sin（2x-

π

4

）+

3

2

，
∴T=

2π

2

=π．
（Ⅱ）∵x∈[0，

π

2

]，
∴2x-

π

4

∈[-

π

4

，

3π

4

]，
∴sin（2x-

π

4

）∈[-

2

2

，1]，
∴1≤f（x）≤

3+ 2

2

，
∴函數(shù)的最大值為

3+ 2

2

，最小值為1．

點評：本題主要考查了三角函數(shù)恒等變換的應(yīng)用，三角函數(shù)圖象與性質(zhì)．考查了學生對三角函數(shù)基礎(chǔ)知識的綜合運用．