Question

已知橢圓C中心在原點(diǎn)O，焦點(diǎn)在x軸上，其長(zhǎng)軸長(zhǎng)為焦距的2倍，且過(guò)點(diǎn)M（1，

3

2

），F(xiàn)為其左焦點(diǎn)．
（1）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）過(guò)左焦點(diǎn)F的直線l與橢圓交于A、B兩點(diǎn)，當(dāng)|AB|=

18

5

時(shí)，求直線l的方程．

Answer 1

考點(diǎn)：直線與圓錐曲線的關(guān)系,橢圓的簡(jiǎn)單性質(zhì)

專題：圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：（1）由已知得a=2c，結(jié)合隱含條件把a(bǔ)，b用c表示，代入點(diǎn)的坐標(biāo)可得橢圓方程；
（2）分直線斜率存在和不存在，當(dāng)斜率不存在時(shí)，利用弦長(zhǎng)公式列式求得直線的斜率，則答案可求．

解答： 解：（1）由條件知：a=2c，∴b²=a²-c²=3c²，
設(shè)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為

x2

4c2

+

y2

3c2

=1，又過(guò)點(diǎn)M（1，

3

2

），
∴

1

4c2

+

( 3 2 )2

3c2

=1，
∴c²=1．
∴a²=4，b²=3，
∴橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為

x2

4

+

y2

3

=1；
（Ⅱ）當(dāng)直線l的斜率不存在時(shí)，|AB|=3，不合題意．
當(dāng)直線l的斜率存在時(shí)，設(shè)直線l：y=k（x+1），
由

y=k(x+1) x2 4 + y2 3 =1

，得：
（3+4k²）x²+8k²x+4k²-12=0．
設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
∴x1+x2=-

8k2

3+4k2

，x1x2=

4k2-12

3+4k2

．
∴|AB|=

1+k2

•

(x1-x2)2-4x1x2

=

(1+k2)[(- 8k2 3+4k2 )2-4• 4k2-12 3+4k2 ]

=

12k2+12

4k2+3

=

18

5

，
解得：k=±

2

2

．
∴直線的方程為y=-

2

2

(x+1)或y=

2

2

(x+1)．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了橢圓的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)，考查了弦長(zhǎng)公式的應(yīng)用，考查了學(xué)生的計(jì)算能力，是中檔題．