Question

如圖所示，已知△BCD中，∠BCD=90°，BC=CD=1，AB⊥平面BCD，該幾何體的側視圖（左視圖）的面積為

3

2

，E，F(xiàn)分別是AC，AD上的動點，且

AE

=λ

AC

，

AF

=λ

AD

，其中λ∈（0，1）．
（Ⅰ）求AB的長；
（Ⅱ）求證：對任意的λ∈（0，1），總有EF∥CD；
（Ⅲ）當λ為何值時，平面BEF⊥平面ACD？

Answer 1

考點：平面與平面垂直的判定,空間中直線與直線之間的位置關系

專題：空間位置關系與距離

分析：（Ⅰ）取BD的中點為M，連結CM，由已知得CM⊥BD，AB⊥CD，由此利用幾何體的左視圖的面積能求出AB=

6

．
（Ⅱ）在△ACD中，

AE

=λ

AC

，

AF

=λ

AD

，從而

AE

AC

=

AF

AD

=λ，由此能證明EF∥CD．
（Ⅲ）由已知得CD⊥平面ABC，從而EF⊥面ABC，由平面BEF⊥平面ACD，得AC=

6+1

=

7

，AE=

6

7

，由此能求出當λ=

6

7

時，平面BEF⊥平面ACD．

解答： （Ⅰ）解：∵在△BCD中，∠BCD=90°，BC=CD=1，
∴BD=

1+1

=

2

，
取BD的中點為M，連結CM，則CM⊥BD，且CM=

1

2

BD=

2

2

，
∵AB⊥平面BCD，CD?平面BCD，∴AB⊥CD，
幾何體的左視圖的面積S=

1

2

×CM×AB=

1

2

×

2

2

×AB=

3

2

，
解得AB=

6

．
（Ⅱ）證明：∵在△ACD中，E，F(xiàn)分別是AC，AD上的動點，
且

AE

=λ

AC

，

AF

=λ

AD

，0＜λ＜1，
∴

AE

AC

=

AF

AD

=λ∈（0，1），∴EF∥CD．
（Ⅲ）解：∵CD⊥BC，CD⊥AB，AB，BC?平面ABC，
AB∩BC=B，∴CD⊥平面ABC，
由（Ⅱ）知EF∥CD，∴EF⊥面ABC，
∵BE?平面ABC，∴EF⊥BE，
又∵EF，AC?平面ACD，EF∩AC=E，
∴當BE⊥AC時，BE⊥平面ACD，
從而平面BEF⊥平面ACD，
在Rt△ABC中，AB=

6

，BC=1，∴AC=

6+1

=

7

，
當BE⊥AC時，AB²=AE•AC，
∴6=AE×

7

，∴AE=

6

7

，∴λ=

AE

AC

=

6

7

，
∴當λ=

6

7

時，平面BEF⊥平面ACD．

點評：本題考查線段長的求法，考查直線平行的證明，考查平面與平面垂直時實數(shù)值的求法，解題時要認真審題，注意空間思維能力的培養(yǎng)．