如圖,游客從某旅游景區(qū)的景點A處下山至C處有兩種路徑.一種是從A沿直線步行到C,另一種是先從A沿索道乘纜車到B,然后從B沿直線步行到C.現(xiàn)有甲、乙兩位游客從A處下山,甲沿AC勻速步行,速度為50 m/min.在甲出發(fā)2 min后,乙從A乘纜車到B,在B處停留1 min后,再從B勻速步行到C.假設纜車勻速直線運動的速度為130 m/min,山路AC長為1 260 m,經(jīng)測量,cosA=,cosC=
.
(1) 求索道AB的長;
(2) 問乙出發(fā)多少分鐘后,乙在纜車上與甲的距離最短?
(3) 為使兩位游客在C處互相等待的時間不超過3 min,乙步行的速度應控制在什么范圍內?
(1) 在△ABC中,因為cosA=,cosC=
,所以sinA=
,sinC=
.
從而sinB=sin[π-(A+C)]=sin(A+C)=sinAcosC+cosAsinC=
×
+
×
=
.
由正弦定理=
,得AB=
×sinC=
×
=1 040(m).
所以索道AB的長為1 040 m.
(2) 假設乙出發(fā)t min后,甲、乙兩游客距離為d,此時,甲行走了(100+50t)m,乙距離A處130t m,所以由余弦定理得
d2=(100+50t)2+(130t)2-2×130t×(100+50t)×=200(37t2-70t+50),
因0≤t≤,即0≤t≤8,故當t=
(min)時,甲、乙兩游客距離最短.
(3) 由正弦定理=
,得BC=
×sinA=
×
=500(m).
乙從B出發(fā)時,甲已走了50×(2+8+1)=550(m),還需走710 m才能到達C.設乙步行的速度為v m/min,由題意得-3≤-
≤3,解得
≤v≤
,所以為使兩位游客在C處互相等待的時間不超過3 min,乙步行的速度應控制在
(單位:m/min)范圍內.
科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
將函數(shù)y=sin x的圖象上所有的點向右平行移動個單位長度,再把所得各點的橫坐標伸長到原來的2倍(縱坐標不變),所得圖象的函數(shù)解析式是________________.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
一人在海面某處測得某山頂C的仰角為α(0°<α<45°),在海面上向山頂?shù)姆较蛐羞Mm 米后,測得山頂C的仰角為90°-α,則該山的高度為______米.(結果化簡)
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
等差數(shù)列有如下性質:若數(shù)列為等差數(shù)列,則當
時,數(shù)列
也是等差數(shù)列;類比上述性質,若
為正項等比數(shù)列,則當
時,數(shù)列
也是等比數(shù)列.
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