Question

【題目】已知函數(shù).

（1）當時，求在處切線方程；

（2）討論的單調(diào)區(qū)間；

（3）試判斷時的實根個數(shù)說明理由.

Answer 1

【答案】（1）；

（2）當時，函數(shù)的增區(qū)間是，減區(qū)間是；

當時，函數(shù)的增區(qū)間是，減區(qū)間是；

當時，函數(shù)的增區(qū)間是；

當時，函數(shù)的增區(qū)間是，減區(qū)間是;

（3）只有一個零點.

【解析】

（1）求出函數(shù)的導數(shù)，把代入，，代入導函數(shù)中，求出切線的斜率，求出切線方程；

（2），根據(jù)的正負性以及之間的大小關(guān)系，進行分類，確定的不同區(qū)間，求出不同區(qū)間下，函數(shù)的單調(diào)性；

（3）由（2）可知：當時，函數(shù)的增區(qū)間是，減區(qū)間是，求出函數(shù)的極大值、極小值，再判斷出當時，，由此可以判斷出函數(shù)的零點的情況.

（1），

當時，，，所以在處切線方程為

，化簡得：,

即.

（2）,函數(shù)的定義域為，

①當時，當時，，函數(shù)單調(diào)遞減，當時，，函數(shù)單調(diào)遞增；

②當時，當時，，函數(shù)單調(diào)遞增， 當時，，函數(shù)單調(diào)遞減，當時，，函數(shù)單調(diào)遞增；

③當時，， 當時，函數(shù)單調(diào)遞增；

④當時，當時，，函數(shù)單調(diào)遞增， 當時，，函數(shù)單調(diào)遞減，當時，，函數(shù)單調(diào)遞增；

綜上所述：

當時，函數(shù)的增區(qū)間是，減區(qū)間是；

當時，函數(shù)的增區(qū)間是，減區(qū)間是；

當時，函數(shù)的增區(qū)間是；

當時，函數(shù)的增區(qū)間是，減區(qū)間是.

（3）由（2）可知：當時，函數(shù)的增區(qū)間是，減區(qū)間是，

所以是極大值點，是極小值點，，，時，，所以時，的實根個數(shù)為1個.