Question

如圖，函數(shù)y=2cos（ωx+θ）（x∈R，ω＞0，0＜θ＜

π

2

）的圖象與y軸相交于點（0，

3

），且該函數(shù)的最小正周期為π．
（Ⅰ） 求θ和ω的值；
（Ⅱ）若x∈[0，π]，求已知函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間．
（Ⅲ）已知點A（

π

2

，0），點P是該函數(shù)圖象上一點，Q（x₀，y₀）是PA的中點，當(dāng)y₀=

3

2

，x₀∈[

π

2

，π]時，求x₀的值．

Answer 1

考點：由y=Asin（ωx+φ）的部分圖象確定其解析式,函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的圖象變換

專題：綜合題,三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)

分析：（Ⅰ）將M坐標(biāo)代入已知函數(shù)，計算可得得cosθ，由θ范圍可得其值，由ω=

2π

T

結(jié)合已知可得ω值；
（Ⅱ）由2x+

π

6

∈[2kπ，2kπ+π]（k∈Z），可得x∈[kπ-

π

12

，kπ+

5

12

π]（k∈Z），即可求出x∈[0，π]，已知函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間．
（Ⅲ）由已知可得點P的坐標(biāo)為（2x-

π

2

，

3

）．代入y=2cos（2x+

π

6

）結(jié)合x∈[

π

2

，π]和三角函數(shù)值得運算可得．

解答： 解：（Ⅰ）將x=0，y=

3

代入函數(shù)y=2cos（ωx+θ）得cosθ=

3

2

，
∵0≤θ≤

π

2

，∴θ=

π

6

．
由已知周期T=π，且ω＞0，
∴ω=

2π

π

=2；
（Ⅱ）y=2cos（2x+

π

6

），
由2x+

π

6

∈[2kπ，2kπ+π]（k∈Z），可得x∈[kπ-

π

12

，kπ+

5

12

π]（k∈Z），
∴x∈[0，π]，函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為[0，

5

12

π]，[

11

12

π，π]；
（Ⅲ））∵點A（

π

2

，0），Q（x，y）是PA的中點，y=

3

2

，
∴點P的坐標(biāo)為（2x-

π

2

，

3

）．
又∵點P在y=2cos（2x+

π

6

）的圖象上，且x∈[

π

2

，π]，
∴cos（4x-

5π

6

）=

3

2

，

7π

6

≤4x-

5π

6

≤

19π

6

，
從而得4x-

5π

6

=

11π

6

，或4x-

5π

6

=

13π

6

，
解得x=

2π

3

或

3π

4

．

點評：本題考查由三角函數(shù)的部分圖象求解析式，涉及三角函數(shù)值的運算，屬于中檔題．