Question

已知橢圓，其中為左、右焦點，O為坐標原點．直線l與橢圓交于兩個不同點．當直線l過橢圓C右焦點F2且傾斜角為時，原點O到直線l的距離為．又橢圓上的點到焦點F2的最近距離為．

（I）求橢圓C的方程；

（II）以OP，OQ為鄰邊做平行四邊形OQNP，當平行四邊形OQNP面積為時，求平行四邊形OQNP的對角線之積的最大值；

（III）若拋物線為焦點，在拋物線C2上任取一點S（S不是原點O），以OS為直徑作圓，交拋物線C2于另一點R，求該圓面積最小時點S的坐標．

Answer 1

解析：（Ⅰ）直線的傾斜角為，，直線的方程，

，，為橢圓上任一點，

==≥，,

當時，，，,

橢圓的方程 ．．………………………5分

（Ⅱ）當直線的斜率不存在時，兩點關于軸對稱，則，

由在橢圓上，則，而，則,

知=．

當直線的斜率存在時，設直線為，代入可得

，

即，

，即,

,

,

，,

化為，，

,

得到，,則，滿足,

由前知，，

設M是ON與PQ的交點，則

,

,

，當且僅當，

即時等號成立，

綜上可知的最大值為．

=2的最大值為5．………………………10分

（Ⅲ）因為以為直徑的圓與相交于點，所以∠ORS = 90°，即 ,

設S （，），R（，），＝（-，-），=（，）,

所以,

因為，，化簡得 ,

所以，

當且僅當即＝16，y2＝±4時等號成立．

圓的直徑|OS|=,

因為≥64，所以當＝64即=±8時，，

所以所求圓的面積的最小時，點S的坐標為（16，±8）．．