Question

已知函數(shù)f（x）=a^x-x （a＞1）
（1）證明：

f′(x1)+f′(x2)

2

≥f′（

x1+x2

2

）；
（2）求函數(shù)f（x）的最小值，并求最小值小于0時(shí)的a取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算,指數(shù)函數(shù)綜合題

專(zhuān)題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（1）由已知中函數(shù)的解析式，求出導(dǎo)函數(shù)的解析式，進(jìn)而利用基本不等式，可證得

f′(x1)+f′(x2)

2

≥f′（

x1+x2

2

）；
（2）利用導(dǎo)數(shù)法分析函數(shù)的單調(diào)性，進(jìn)而得到其最小值，結(jié)合最小值小于0和對(duì)數(shù)的定義，可得a取值范圍．

解答： 證明：（1）∵f（x）=a^x-x，
∴f′（x）=a^xlna-1，
∴

f′(x1)+f′(x2)

2

=

(ax1+ax2)lna-2

2

≥

ax1ax2

lna-1=

ax1+x2

lna-1=a

x1+x2

2

lna-1=f′（

x1+x2

2

）；
即

f′(x1)+f′(x2)

2

≥f′（

x1+x2

2

）；
解：（2）由f′（x）=a^xlna-1＞0，得：a^xlna＞1，
又∵a＞1，
∴x＞-log_alna
同理，由f′（x）=a^xlna-1＜0，得x＜-log_alna，
故函數(shù)f（x）在（-∞，-log_alna）上遞減，在（-log_alna，+∞）上遞增，
故當(dāng)x=-log_alna時(shí)，函數(shù)f（x）取最小值

1+lnlna

lna

＜0，
即lnlna＜-1，即lna＜

1

e

，即a＜e

1

e

，
故a取值范圍為（0，e

1

e

）

點(diǎn)評(píng)：本題考查的知識(shí)點(diǎn)是指數(shù)函數(shù)的綜合應(yīng)用，對(duì)數(shù)函數(shù)的綜合應(yīng)用，導(dǎo)數(shù)法求函數(shù)的最值，難度中檔．