Question

已知遞增等差數(shù)列{a_n}中的a₂，a₅是函數(shù)f（x）=

1

3

x3-

7

2

x2+10x+5的兩個極值點．數(shù)列{b_n}滿足，點（b_n，S_n）在直線y=-x+1上，其中S_n是數(shù)列{b_n}的前n項和．
（1）求數(shù)列{a_n}和{b_n}的通項公式；
（2）令c_n=a_n•b_n，求數(shù)列{c_n}的前n項和T_n．

Answer 1

考點：數(shù)列的求和

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（1）先對原函數(shù)求導(dǎo)得到極值點，再利用等差、等比數(shù)列的通項公式即可；
（2）直接使用錯位相減法求之即可．

解答： 解：（1）f(x)=

1

3

x3-

7

2

x2+10x+5，x∈R，則f'（x）=x²-7x+10．
因為a₂，a₅是函數(shù)f(x)=

1

3

x3-

7

2

x2+10x+5的兩個極值點，則

a2+a5=7 a2•a5=10

，解得：

a2=2 a5=5

或

a2=5 a5=2

．
又等差數(shù)列{a_n}遞增，則

a2=2 a5=5

，所以an=n，n∈N*．…3分
因為點（b_n，S_n）在直線y=-x+1上，則S_n=-b_n+1．
當n=1時，b₁=S₁=-b₁+1，即b1=

1

2

．
當n≥2時，b_n=S_n-S_n-1=（-b_n+1）-（-b_n-1+1），即bn=

1

2

bn-1．
所以數(shù)列{b_n}為首項為

1

2

，公比為

1

2

的等比數(shù)列，即bn=(

1

2

)n，n∈N*．…6分
（2）由（1）知：an=n，n∈N*且bn=(

1

2

)n，n∈N*，
則cn=an•bn=n•(

1

2

)n，n∈N*
所以Tn=1•

1

2

+2•(

1

2

)2+3•(

1

2

)3+…+n•(

1

2

)n①

1

2

Tn=         1•(

1

2

)2+2•(

1

2

)3+…+(n-1)•(

1

2

)n+n•(

1

2

)n+1②．
1-②得：

1

2

Tn= 

1

2

+(

1

2

)2+(

1

2

)3+…+(

1

2

)n-n•(

1

2

)n+1=1-(n+2)(

1

2

)n+1．
所以Tn=2-(n+2)(

1

2

)n，n∈N*．…12分．

點評：本題考查的知識點利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的極值；等差、等比數(shù)列的通項公式；錯位相減法求數(shù)列的和．是中檔題．