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【題目】已知拋物線：的焦點為，為拋物線上一點，為坐標原點，的外接圓與拋物線的準線相切，且外接圓的周長為.

（1）求拋物線的方程；

（2）已知點，設不垂直于軸的直線與拋物線交于不同的兩點，，若，證明直線過定點并寫出定點坐標.

【答案】（1）（2）證明見解析,恒過定點

【解析】

（1）先求出的外接圓的半徑長，再利用拋物線的定義可求出的值，從而得出拋物線的方程；

（2）設的方程為，，，聯立直線與拋物線方程，列出韋達定理，等價于即可得到、的關系，即可得到直線恒過定點.

解：（1）因為的外接圓與拋物線的準線相切，

所以的外接圓的圓心到準線的距離等于半徑，

因為外接圓的周長為，所以圓的半徑為3，

又圓心在的垂直平分線上，，

，解得：，

所以拋物線的方程為.

（2）設的方程為，，，

由得，，則.

所以，，

因為，所以，

即，化簡得，

所以，所以，

所以的方程為，恒過定點.

練習冊系列答案
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科目：高中數學 來源： 題型：

【題目】某地因受天氣，春季禁漁等因素影響，政府規(guī)定每年的7月1日以后的100天為當年的捕魚期.某漁業(yè)捕撈隊對噸位為的20艘捕魚船一天的捕魚量進行了統計，如下表所示：

捕魚量(單位：噸)

頻數

2

7

7

3

1

根據氣象局統計近20年此地每年100天的捕魚期內的晴好天氣情況如下表（捕魚期內的每個晴好天氣漁船方可捕魚，非晴好天氣不捕魚）：

晴好天氣(單位：天)

頻數

2

7

6

3

2

（同組數據以這組數據的中間值作代表）

（Ⅰ）估計漁業(yè)捕撈隊噸位為的漁船單次出海的捕魚量的平均數；

（Ⅱ）已知當地魚價為2萬元/噸，此種捕魚船在捕魚期內捕魚時，每天成本為10萬元/艘，若不捕魚，每天成本為2萬元/艘，若以（Ⅰ）中確定的作為上述噸位的捕魚船在晴好天氣捕魚時一天的捕魚量.

①請依據往年天氣統計數據，試估計一艘此種捕魚船年利潤不少于1600萬元的概率；

②設今后3年中，此種捕魚船每年捕魚情況一樣，記一艘此種捕魚船年利潤不少于1600萬元的年數為，求的分布列和期望.

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科目：高中數學 來源： 題型：

【題目】惠州市某學校需要從甲、乙兩名學生中選1人參加數學競賽，抽取了近期兩人5次數學考試的分數，統計結果如下表：

第一次

第二次

第三次

第四次

第五次

甲

80

85

71

92

87

乙

90

76

75

92

82

（1）若從甲、乙兩人中選出1人參加數學競賽，你認為選誰合適？請說明理由.

（2）若數學競賽分初賽和復賽，在初賽中答題方案如下：

每人從5道備選題中隨機抽取3道作答，若至少答對其中2道，則可參加復賽，否則被淘汰.假設被選中參賽的學生只會5道備選題中的3道，求該學生能進人復賽的概率.

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科目：高中數學 來源： 題型：

【題目】如圖，三棱柱的側面是平行四邊形，，平面平面，且分別是的中點.

（Ⅰ）求證：；

（Ⅱ）求證：平面；

（Ⅲ）在線段上是否存在點，使得平面？若存在，求出的值；若不存在，請說明理由.

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科目：高中數學 來源： 題型：

【題目】以下四個命題中正確的是（ ）

A.空間的任何一個向量都可用其他三個向量表示

B.若為空間向量的一組基底，則構成空間向量的另一組基底

C.為直角三角形的充要條件是

D.任何三個不共線的向量都可構成空間向量的一個基底

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科目：高中數學 來源： 題型：

【題目】如圖，在四棱錐P-ABCD中，四邊形ABCD是直角梯形，，，，M是棱PC上一點，且，平面MBD．

（1）求實數λ的值；

（2）若平面平面ABCD，為等邊三角形，且三棱錐P-MBD的體積為2，求PA的長．

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科目：高中數學 來源： 題型：

【題目】以下5條表述中，橫線上填A代表“充分非必要條件”，填B代表“必要非充分條件”，填C代表“充要條件”，填D代表“既非充分也非必要條件”，請將相應的字母填入下列橫線上.

（1）若，則“是與的等比中項”是“”的_______.

（2）“數列為常數列”是“數列既是等差數列又是等比數列”的_______.

（3）若是等比數列，則“”是“為遞減數列”的_______.

（4）若是公比為的等比數列，則“”是“是遞減數列”的_______.

（5）記數列的前項和為，則“數列為遞增數列”是“數列的各項均為大于零”的_______.

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科目：高中數學 來源： 題型：

【題目】“科技引領，布局未來”科技研發(fā)是企業(yè)發(fā)展的驅動力量.2007年至2018年，某企業(yè)連續(xù)12年累計研發(fā)投入達4100億元，我們將研發(fā)投入與經營收入的比值記為研發(fā)投入占營收比．這12年間的研發(fā)投入（單位：十億元）用圖中的條形圖表示，研發(fā)投入占營收比用圖中的折線圖表示．

根據折線圖和條形圖，下列結論錯誤的是（　�。�

A. 2012﹣2013 年研發(fā)投入占營收比增量相比 2017﹣2018 年增量大

B. 該企業(yè)連續(xù) 12 年研發(fā)投入逐年增加

C. 2015﹣2016 年研發(fā)投入增值最大

D. 該企業(yè)連續(xù) 12 年研發(fā)投入占營收比逐年增加

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科目：高中數學 來源： 題型：

【題目】已知函數．

(1)求證：；

(2)用表示中的最大值，記，討論函數零點的個數．

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