Question

已知函數(shù)f（x）=

2

x2

．
（1）判斷函數(shù)f（x）在區(qū)間（0，+∞）內(nèi)的單調(diào)性并證明；
（2）當(dāng)x∈[1，+∞）時，求f（x）的最大值．

Answer 1

考點：函數(shù)單調(diào)性的判斷與證明,函數(shù)的最值及其幾何意義

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：本題（1）可以利用函數(shù)單調(diào)性定義加以證明，得到本題結(jié)論；（2）利用已證明的函數(shù)單調(diào)性，可得到函數(shù)的值域，從而得到函數(shù)最大值，得到本題結(jié)論．

解答： 解：（1）結(jié)論：函數(shù)f（x）在區(qū)間（0，+∞）內(nèi)的單調(diào)遞減，以下證明．
證明：在區(qū)間（0，+∞）內(nèi)任取兩個自變量的值x₁，x₂，且x₁＜x₂，
f（x₂）-f（x₁）=

2

x22

-

2

x12

=

2(x12-x22)

x12•x22

=

2(x1-x2)(x1+x2)

x12•x22

，
∵0＜x₁＜x₂，
∴x₁+x₂＞0，x₁-x₂＜0，x₁²•x22＞0，
∴f（x₂）-f（x₁）＜0，
∴f（x₂）＜f（x₁）．
∴函數(shù)f（x）在區(qū)間（0，+∞）內(nèi)的單調(diào)遞減．
（2）由（1）知：函數(shù)f（x）在區(qū)間（0，+∞）內(nèi)的單調(diào)遞減，
∴當(dāng)x≥1時，f（x）≤f（1）=

2

12

=2．
∴當(dāng)x∈[1，+∞）時，f（x）的最大值為2．

點評：本題考查了函數(shù)的單調(diào)性定義及其應(yīng)用，本題難度不大，屬于基礎(chǔ)題．