Question

在平面直角坐標(biāo)系xoy中，已知點(diǎn)B（1，0）圓A：（x+1）²+y²=16，動(dòng)點(diǎn)P在圓A上，線段BP的垂直平分線AP相交點(diǎn)Q，設(shè)動(dòng)點(diǎn)Q的軌跡為曲線C．
（Ⅰ）求曲線C的方程；
（Ⅱ）過(guò)點(diǎn)D（1，0）點(diǎn)且斜率為1的直線與曲線C交于A、B兩點(diǎn)，求弦長(zhǎng)AB．

Answer 1

考點(diǎn)：直線與圓錐曲線的綜合問(wèn)題,軌跡方程,直線與圓錐曲線的關(guān)系

專題：圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程,圓錐曲線中的最值與范圍問(wèn)題

分析：（Ⅰ）由已知|QP|=|QB|，Q在線段PA上，利用橢圓的定義，可求曲線C的方程；
（Ⅱ）求出AB的方程，聯(lián)立直線與橢圓方程，設(shè)出A，B坐標(biāo)，通過(guò)韋達(dá)定理以及弦長(zhǎng)公式即可求解|AB|的距離．

解答： 解：（Ⅰ）由已知|QP|=|QB|，Q在線段PA上，所以|AQ|=|QP|=4，|AQ|+|QB|=4
所以點(diǎn)C的軌跡是橢圓，2a=4，a=2，2c=2，c=1，∴b²=3，
所以C點(diǎn)的軌跡方程為

x2

4

+

y2

3

=1．
（Ⅱ），AB的直線方程為：y=x-1．

y=x-1 x2 4 + y2 3 =1

，
整理得：7x²-8x-8=0，
設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
∴x₁+x₂=

8

7

，x₁•x₂=-

8

7

，
|AB|=

1+k2

•

(x1+x2)2-4x1x2

=

2

•

12 2

7

=

24

7

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查軌跡方程的求法，直線與橢圓的關(guān)系，弦長(zhǎng)公式的應(yīng)用，考查分析問(wèn)題解決問(wèn)題的能力．