Question

【題目】設(shè)橢圓E的方程為 (a>b>0)，點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)A的坐標(biāo)為(a，0)，點(diǎn)B的坐標(biāo)為(0，b)，點(diǎn)M在線段AB上，滿足BM＝2MA，直線OM的斜率為.

(1)求E的離心率e；

(2)設(shè)點(diǎn)C的坐標(biāo)為(0，－b)，N為線段AC的中點(diǎn)，點(diǎn)N關(guān)于直線AB的對稱點(diǎn)的縱坐標(biāo)為，求E的方程.

Answer 1

【答案】（1）（2）

【解析】試題分析：（1）由題意，點(diǎn)的坐標(biāo)為，根據(jù)的斜率為，得到的關(guān)系式，即可求解橢圓的離心率；

（2）由（1）可得直線的方程為，得點(diǎn)的坐標(biāo)，解得點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)的對稱點(diǎn)，列出方程組，求解的值，進(jìn)而得到橢圓的方程．

試題解析：

解　(1)由題設(shè)條件知，點(diǎn)M的坐標(biāo)為，又kOM＝，從而＝，

進(jìn)而得a＝b，c＝＝2b，故e＝＝.

(2)由題設(shè)條件和(1)的計算結(jié)果可得，直線AB的方程為＋＝1，點(diǎn)N的坐標(biāo)為.

設(shè)點(diǎn)N關(guān)于直線AB的對稱點(diǎn)S的坐標(biāo)為，

則線段NS的中點(diǎn)T的坐標(biāo)為.

又點(diǎn)T在直線AB上，且kNS·kAB＝－1，

從而有解得b＝3.

所以a＝3，故橢圓E的方程為＋＝1.