Question

已知f（x）=（1+x）lnx，g（x）=a（1-x）．
（1）是否存在實(shí)數(shù)a，使g（x）是f（x）在x=1處的切線？
（2）若f（x）＜-2g（x）對(duì)?x∈（0，1）成立，求a的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)切線方程,全稱命題

專題：計(jì)算題,導(dǎo)數(shù)的概念及應(yīng)用,導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（1）求導(dǎo)f′（x）=lnx+

1

x

+1，從而得到f（1）=0，f′（1）=2；從而求切線方程；
（2）f（x）＜-2g（x）可化為（1+x）lnx+2a（1-x）＜0，從而可得-2a＞

(1+x)lnx

1-x

對(duì)?x∈（0，1）成立，令h（x）=

(1+x)lnx

1-x

，從而求導(dǎo)h′（x）=

2lnx+ 1-x2 x

(1-x)2

，再令F（x）=2lnx+

1-x2

x

，求導(dǎo)F′（x）=

2

x

+

-2x2-(1-x2)

x2

=-

(x-1)2

x2

＜0，從而求a的取值范圍．

解答： 解：（1）∵f（x）=（1+x）lnx，f′（x）=lnx+

1

x

+1；
∴f（1）=0，f′（1）=2；
故f（x）在x=1處的切線為y=2（x-1）；若g（x）是f（x）在x=1處的切線，
則a=2；
（2）f（x）＜-2g（x）可化為（1+x）lnx+2a（1-x）＜0；
即-2a＞

(1+x)lnx

1-x

對(duì)?x∈（0，1）成立；
令h（x）=

(1+x)lnx

1-x

，∴h′（x）=

2lnx+ 1-x2 x

(1-x)2

，
令F（x）=2lnx+

1-x2

x

，
∵F′（x）=

2

x

+

-2x2-(1-x2)

x2

=-

(x-1)2

x2

＜0，
∴F（x）=2lnx+

1-x2

x

在（0，1）上是減函數(shù)，
且h′（1）=0，
∴h′（x）＞0，
所以h（x）在（0，1）上是增函數(shù)，
且h（1）→-2，
∴-2a＞-2，即a＜1．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用及恒成立問題的處理方法，屬于難題．