Question

已知f（x）=x²，若a²f（2x）≤4af（x）+3f（x+1）在x∈[1，+∞）上恒成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（　　）

• A、a≤-

  1

  2

  或a≥

  3

  2

• B、-

  1

  2

  ≤a≤

  3

  2

• C、-

  3

  2

  ≤a≤

  1

  2

• D、a≤-

  3

  2

  或a≥

  3

  2

Answer 1

考點(diǎn)：函數(shù)恒成立問題

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：把f（x）=x²，代入a²f（2x）≤4af（x）+3f（x+1）可化為：（4a²-4a-3）x²-6x-3≤0，令g（x）=（4a²-4a-3）x²-6x-3，橫過(guò)（0，-3）
再討論此拋物線，滿足不等式得出結(jié)論．

解答： 解：把f（x）=x²，代入a²f（2x）≤4af（x）+3f（x+1）可化為：（4a²-4a-3）x²-6x-3≤0，
令g（x）=（4a²-4a-3）x²-6x-3，橫過(guò)（0，-3）
①當(dāng)4a²-4a-3=0時(shí)，即a=-

1

2

或a=

3

2

時(shí)，原不等式化為-6x-3≤0，在x∈[1，+∞）上恒成立，
②當(dāng)4a²-4a-3＞0時(shí)，拋物線g（x）=（4a²-4a-3）x²-6x-3開口向上，不能滿足在x∈[1，+∞）上恒成立，
③當(dāng)4a²-4a-3＜0時(shí)，拋物線g（x）=（4a²-4a-3）x²-6x-3開口向下，對(duì)稱軸方程為x=-

-6

2(4a2-4a-3)

=

3

4a2-4a-3

＜0，
要使（4a²-4a-3）x²-6x-3≤0，只需使g（1）≤0，∴（4a²-4a-3）1²-6-3≤0，∴4a²-4a-12≤0，∴

1- 13

2

≤a≤

1+ 13

2

又4a²-4a-3＜0，即-

1

2

＜a＜

3

2

，
∴-

1

2

＜a＜

3

2

，
綜上，a的范圍為-

1

2

≤a≤

3

2

，
故選：B．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查二次函數(shù)的性質(zhì)，用二次函數(shù)解關(guān)于二次不等式的問題，注意理清三個(gè)二次的關(guān)系．