Question

數(shù)列{a_n}的前n項和為S_n，點（n，S_n）在曲線y=x²-11x上．
（Ⅰ）求數(shù)列{a_n}的通項公式；
（Ⅱ）設(shè)b_n=

an+12

2n+1

，數(shù)列{b_n}的前n項和為T_n，若2T_n＞m-2對n∈N^*恒成立，求最大正整數(shù)m的值．

Answer 1

考點：數(shù)列的求和,數(shù)列的函數(shù)特性

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（Ⅰ）由已知條件知Sn=n2-11n，由此能求出an=2n-12，n∈N*．
（Ⅱ）b_n=

an+12

2n+1

=

(2n-12)+12

2n+1

=

n

2n

，由此利用錯位相減法求出Tn=2-

2+n

2n

，再利用數(shù)列{T_n}單調(diào)遞增，能求出正整數(shù)m的最大值為2．

解答： 解：（Ⅰ）∵點（n，S_n）在曲線y=x²-11x上，
∴Sn=n2-11n，
當(dāng)n=1時，a₁=S₁=1-11=-10．（2分）
當(dāng)n≥2時，a_n=S_n-S_n-1=（n²-11n）-[（n-1）²-11（n-1）]=2n-12，（4分）
當(dāng)n=1＜0時也滿足上式，
故an=2n-12，n∈N*．（6分）（未驗算減1分）
（Ⅱ）b_n=

an+12

2n+1

=

(2n-12)+12

2n+1

=

n

2n

，（7分）
Tn=

1

2

+

2

22

+

3

23

+…+

n

2n

，①

1

2

Tn=

1

22

+

2

23

+

3

24

+…+

n

2n+1

，②
①-②得

1

2

Tn=

1

2

+

1

22

+…+

1

2n

-

n

2n+1

=1-

1

2n

-

n

2n+1

，
∴∴Tn=2-

2+n

2n

．（9分）
∵T_n+1-T_n=（2-

2+n+1

2n+1

）-（2-

2+n

2n

）=

n+1

2n+1

＞0，
∴數(shù)列{T_n}單調(diào)遞增，T₁最小，最小值為：2-

3

2

=

1

2

．（10分）
∴2×

1

2

＞m-2，解得m＜3．（11分）
故正整數(shù)m的最大值為2．（12分）

點評：本題考查數(shù)列的通項公式的求法，考查正整數(shù)的最大值的求法，解題時要認(rèn)真審題，注意錯位相減法的合理運用．