Question

已知函數(shù)y＝f(x)是定義在R上的增函數(shù)，函數(shù)y＝f(x－1)的圖象關(guān)于點(1,0)對稱，若對任意的x，y∈R，不等式f(x²－6x＋21)＋f(y²－8y)<0恒成立，則當x>3時，x²＋y²的取值范圍是(　　)

A．(3,7)                                                        B．(9,25)

C．(13,49)                                                    D．(9,49)

Answer 1

C

[解析]　因為函數(shù)y＝f(x－1)的圖象關(guān)于點(1,0)對稱，所以函數(shù)y＝f(x)的圖象關(guān)于原點對稱，所以函數(shù)y＝f(x)為R上的奇函數(shù)，不等式f(x²－6x＋21)＋f(y²－8y)<0恒成立，即為f(x²－6x＋21)<－f(y²－8y)＝f(8y－y²)恒成立，因為函數(shù)y＝f(x)是定義在R上的增函數(shù)，所以x²－6x＋21<8y－y²恒成立，即x²＋y²－6x－8y＋21<0恒成立，即點(x，y)恒在圓(x－3)²＋(y－4)²＝4內(nèi)，當x>3時，x²＋y²表示半圓(x－3)²＋(y－4)²＝4(x>3)上的點到原點的距離的平方，所以最大為(＋2)²＝49，最小為點(3,2)到原點的距離的平方，即為3²＋2²＝13，所以x²＋y²的取值范圍是(13,49)．