Question

若對于正整數(shù)k，g（k）表示k的最大奇數(shù)因數(shù)，例如g（3）=3，g（10）=5．設(shè)S_n=g（1）+g（2）+g（3）+g（4）+…+g（2ⁿ）．
（1）則S₂=

 

；（2）S_n=

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)列的求和

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（1）由于g（k）表示k的最大奇數(shù)因數(shù)，可得g（1）=g（2）=g（4）=1，g（3）=3．
（2）不難發(fā)現(xiàn)對m∈N^*，有g(shù)（2m）=g（m）．因此當(dāng)n≥2時(shí)，Sn=g(1)+g(2)+g(3)+g(4)+…+g(2n-1)+g(2n)=[g（1）+g（3）+g（5）+…+g（2ⁿ-1）]+[g（2）+g（4）+…+g（2ⁿ）]=4^n-1+S_n-1，于是Sn-Sn-1=4n-1，n≥2，n∈N^*．利用“累加求和”即可得出．

解答： 解：（1）S₂=g（1）+g（2）+g（3）+g（4）=1+1+3+1=6．
（2）不難發(fā)現(xiàn)對m∈N^*，有g(shù)（2m）=g（m）．
∴當(dāng)n≥2時(shí)，Sn=g(1)+g(2)+g(3)+g(4)+…+g(2n-1)+g(2n)
=[g（1）+g（3）+g（5）+…+g（2ⁿ-1）]+[g（2）+g（4）+…+g（2ⁿ）]
=[1+3+5+…+（2ⁿ-1）]+[g（2×1）+g（2×2）+…+g（2×2^n-1）]
=

(1+2n-1)×2n-1

2

+[g(1)+g(2)+…g(2n-1)]
=4^n-1+S_n-1
于是Sn-Sn-1=4n-1，n≥2，n∈N^*．
∴S_n=（S_n-S_n-1）+（S_n-1-S_n-2）+…+（S₂-S₁）+S₁=4^n-1+4^n-2+…+4²+4+2
=

4(1-4n-1)

1-4

+2=

4n

3

+

2

3

，n≥2，n∈N^*．
又S₁=2，滿足上式，所以對n∈N^*，Sn=

1

3

(4n+2)．

點(diǎn)評：本題考查了利用歸納猜想得出規(guī)律、等比數(shù)列與等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于難題．