Question

如圖，在正三棱柱ABC－A₁B₁C₁中，D是BC的中點(diǎn)，AA₁＝AB＝a.

(1)求證：AD⊥B₁D；

(2)求證：A₁C∥平面AB₁D；

(3)求三棱錐C－AB₁D的體積．

Answer 1

[解析]　(1)證明：∵ABC－A₁B₁C₁是正三棱柱，

∴BB₁⊥平面ABC，

∵AD⊂平面ABC.∴AD⊥BB₁.

又∵△ABC是正三角形，D是BC的中點(diǎn)，∴AD⊥BC.

又∵BC∩BB₁＝B，

∴AD⊥平面B₁BCC₁.

又∵B₁D⊂平面B₁BCC₁，

∴AD⊥B₁D.

(2)證明：連接A₁B，設(shè)A₁B∩AB₁＝E，連接DE.

∵AA₁＝AB，∴四邊形A₁ABB₁是正方形，

∴E是A₁B的中點(diǎn)，

又∵D是BC的中點(diǎn)，

∴DE∥A₁C.

∵DE⊂平面AB₁D，A₁C⊄平面AB₁D，

∴A₁C∥平面AB₁D.

(3)解：VC－AB₁D＝VB₁－ADC＝S_△ADC·|BB₁|＝a³.