Question

已知函數(shù)f(x)＝x－alnx(a∈R)．

(1)當(dāng)a＝2時(shí)，求曲線y＝f(x)在點(diǎn)A(1，f(1))處的切線方程；

(2)求函數(shù)f(x)的極值．

Answer 1

[解析]　函數(shù)f(x)的定義域?yàn)?0，＋∞)，

f ′(x)＝1－.

(1)當(dāng)a＝2時(shí)，f(x)＝x－2lnx，f ′(x)＝1－(x>0)，

因而f(1)＝1，f ′(1)＝－1，

所以曲線y＝f(x)在點(diǎn)A(1，f(1))處的切線方程為

y－1＝－(x－1)，

即x＋y－2＝0.

(2)由f ′(x)＝1－＝，x>0知：

①當(dāng)a≤0時(shí)，f ′(x)>0，函數(shù)f(x)為(0，＋∞)上的增函數(shù)，函數(shù)f(x)無(wú)極值；

②當(dāng)a>0時(shí)，由f ′(x)＝0，解得x＝a.

又當(dāng)x∈(0，a)時(shí)，f ′(x)<0；

當(dāng)x∈(a，＋∞)時(shí)，f ′(x)>0，

從而函數(shù)f(x)在x＝a處取得極小值，

且極小值為f(a)＝a－alna，無(wú)極大值．

綜上，當(dāng)a≤0時(shí)，函數(shù)f(x)無(wú)極值；

當(dāng)a>0時(shí)，函數(shù)f(x)在x＝a處取得極小值a－alna，無(wú)極大值．